Задача
ALG-B1-M09-P021 Рациональный корень монического многочлена
#21
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите: если рациональное число \(\frac{p}{q}\) в несократимой дроби является корнем монического многочлена с целыми коэффициентами, то \(q=1\).
Подставьте \(\frac{p}{q}\) и умножьте на \(q^n\).
Пусть \(\left(\frac{p}{q}\right)^n+a_{n-1}\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}+\cdots+a_0=0\). Умножаем на \(q^n\): \(p^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots+a_0q^n=0\).
Все слагаемые, кроме \(p^n\), делятся на \(q\), значит \(q\mid p^n\). Так как \((p,q)=1\), получаем \(q=1\).
Это строгая версия правила о целых корнях.