Задача
ALG-B1-M09-P020 Три разности
#20
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите все целые тройки \((x,y,z)\), для которых \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx+2\).
Используйте сумму квадратов разностей.
Умножим на \(2\): \((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=4\). Квадраты целых чисел в сумме дают \(4\). Возможны только наборы квадратов \(4,0,0\) или \(1,1,2\), но \(2\) квадратом не бывает. Значит, две разности равны \(0\), а третья равна \(\pm2\).
Итак, две переменные равны, а третья отличается от них на \(2\). Все решения: перестановки троек \((t,t,t+2)\) и \((t,t,t-2)\), где \(t\in\mathbb Z\).
Связь симметрической алгебры и целочисленного перебора.