Задача
ALG-B1-M09-P019 Форма равна единице
#19
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите все целые пары \((x,y)\), для которых \(x^2-xy+y^2=1\).
Умножьте на \(4\): \((2x-y)^2+3y^2=4\).
Имеем \((2x-y)^2+3y^2=4\). Тогда \(y\in\{-1,0,1\}\). Если \(y=0\), то \(x=\pm1\). Если \(y=1\), то \((2x-1)^2=1\), значит \(x=0\) или \(1\). Если \(y=-1\), то \((2x+1)^2=1\), значит \(x=0\) или \(-1\). Ответ: \((1,0),(-1,0),(0,1),(1,1),(0,-1),(-1,-1)\).
Квадратичная форма превращает бесконечный поиск в малый перебор.