Задача
ALG-B1-M09-P016 Дискриминант как квадрат
#16
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все целые \(k\), при которых уравнение \(x^2-6x+k=0\) имеет целые корни.
Корни имеют сумму \(6\). Переберите целые пары с такой суммой.
Пусть корни \(r\) и \(s\). Тогда \(r+s=6\), \(k=rs\). Пишем \(r=3+t\), \(s=3-t\), где \(t\in\mathbb Z\). Тогда \(k=9-t^2\). И наоборот, при любом целом \(t\) корни \(3+t\) и \(3-t\) целые. Ответ: все \(k=9-t^2\), \(t\in\mathbb Z\).
Параметризация через сумму корней часто удобнее дискриминанта.