Задача
ALG-B1-M09-P015 Простой делит квадрат
#15
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(p\) — простое число и \(p\mid a^2\). Докажите, что \(p\mid a\).
Рассмотрите остаток \(a\) по модулю \(p\).
Если \(p\nmid a\), то \(a\) имеет обратный остаток по модулю \(p\). Из \(a^2\equiv0\pmod p\) умножаем на обратный к \(a\) дважды и получаем \(1\equiv0\pmod p\), что невозможно. Значит, \(p\mid a\).
Базовый факт для задач с квадратами и простыми делителями.