Задача
ALG-B1-M09-P012 Квадратичная форма равна 7
#12
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все целые пары \((x,y)\), для которых \(x^2+xy+y^2=7\).
Используйте \(4(x^2+xy+y^2)=(2x+y)^2+3y^2\).
Получаем \((2x+y)^2+3y^2=28\). Значит, \(3y^2\le28\), откуда \(y\in\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\). Проверка этих семи значений даёт все решения: \((-3,1),(-3,2),(-2,-1),(-2,3),(-1,-2),(-1,3),(1,-3),(1,2),(2,-3),(2,1),(3,-2),(3,-1)\).
Ограничение переменной через положительную квадратичную форму.