Практика
Решите \(x^2-7x+12=0\).
Разложите на множители.
\((x-3)(x-4)=0\). Ответ: \(3,4\).
\(u_0=1\), \(u_{n+1}=u_n+2n\). Найдите \(u_n\).
Просуммируйте разности.
\(u_n=1+\sum_{k=0}^{n-1}2k=1+n(n-1)\).
При \(x>0\) докажите \(x+\frac{1}{x}\ge2\).
AM-GM.
\(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{1}=2\).
Найдите все линейные \(f(x)=ax+b\), если \(f(x+1)=f(x)+3\).
Сравните коэффициенты.
Получаем \(a=3\), \(b\) произвольно. Ответ: \(f(x)=3x+b\).
Найдите целые корни \(x^3-4x^2-x+4\).
Сгруппируйте.
\(x^2(x-4)-1(x-4)=(x-4)(x-1)(x+1)\). Корни \(4,1,-1\).
\(P\) степени не выше \(2\), \(P(0)=1\), \(P(1)=4\), \(P(2)=9\). Найдите \(P(3)\).
Вторые разности постоянны.
Разности \(3,5\), следующая \(7\). Ответ \(16\).
Если \(a,b>0\), \(a+b=4\), докажите \(ab\le4\).
AM-GM.
\(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}=2\), значит \(ab\le4\).
\(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), \(f(x+y)=f(x)+f(y)\), \(f(2)=6\). Найдите \(f\left(\frac{5}{3}\right)\).
Найдите \(f(1)\).
\(f(1)=3\), значит \(f(q)=3q\). Ответ: \(5\).
Решите \(x+y+xy=11\), \(x^2+y^2=13\).
Пусть \(s=x+y\), \(p=xy\).
\(s+p=11\), \(s^2-2p=13\). Получаем \(s=5\), \(p=6\). Ответ: \((2,3),(3,2)\).
Найдите целые корни \(x^3-x^2-10x+10\).
Группировка.
\((x-1)(x^2-10)\), целый корень только \(1\).
Если \(a,b,c>0\), \(a+b+c=6\), докажите \(abc\le8\).
AM-GM.
\(\sqrt[3]{abc}\le2\), значит \(abc\le8\).
\(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\), \(f(m+n)=f(m)+f(n)+mn\), \(f(1)=1\). Найдите \(f(n)\).
Сравните с \(\frac{n(n-1)}{2}\).
\(f(n)-\frac{n(n-1)}{2}\) аддитивна и равна \(1\) при \(n=1\). Ответ: \(f(n)=\frac{n(n+1)}{2}\).
Найдите положительные целые решения \(x^2-y^2=45\).
\((x-y)(x+y)=45\).
Пары \(1,45\), \(3,15\), \(5,9\) дают \((23,22),(9,6),(7,2)\).
\(u_0=3\), \(u_1=7\), \(u_{n+2}=2u_{n+1}-u_n\). Найдите \(u_n\).
Разность постоянна.
\(u_{n+1}-u_n=4\), значит \(u_n=4n+3\).
Докажите \(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{x+y+z}{2}\) при \(x,y,z>0\).
Коши.
Левая часть не меньше \(\frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}\).
Найдите линейную \(f\), если \(f(f(x))=x+2\), \(f(0)>0\).
Пусть \(f(x)=ax+b\).
\(a^2=1\), \(b(a+1)=2\). Подходит только \(a=1,b=1\). Ответ: \(f(x)=x+1\).
Докажите, что \(x^2+y^2=4k+3\) не имеет целых решений.
Модуль \(4\).
Квадраты дают \(0,1\); сумма не даёт \(3\).
При каких целых \(a\) многочлен \(x^2+ax+20\) имеет целые корни?
Корни имеют произведение \(20\).
Суммы пар делителей: \(\pm21,\pm12,\pm9\). Поэтому \(a=\mp21,\mp12,\mp9\), то есть \(a\in\{\pm21,\pm12,\pm9\}\).
Если \(x,y,z>0\), \(xyz=1\), докажите \((1+x)(1+y)(1+z)\ge8\).
\(1+x\ge2\sqrt{x}\).
Перемножаем три оценки и получаем \(8\sqrt{xyz}=8\).
\(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), \(f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy\), \(f(1)=1\). Найдите \(f\).
Вычтите \(x^2\).
\(g(x)=f(x)-x^2\) аддитивна, \(g(1)=0\), значит \(g=0\). Ответ: \(f(x)=x^2\).
Найдите все целые \(n\), при которых \(n^2+3n+5\) делится на \(n+1\).
Подставьте \(n\equiv-1\pmod{n+1}\).
Остаток равен \(1-3+5=3\). Нужно \(n+1\mid3\). Ответ: \(n=0,-2,2,-4\).
\(P\) степени не выше \(3\), значения \(1,2,5,10\) при \(0,1,2,3\). Найдите \(P(4)\).
Третьи разности постоянны.
Разности: \(1,3,5\); вторые \(2,2\); следующая первая \(7\). Ответ \(17\).
Найдите положительные целые решения \(\frac1x+\frac1y=\frac17\).
\((x-7)(y-7)=49\).
Получаем \((8,56),(14,14),(56,8)\).
Найдите линейные \(f\), если \(f(x+y)=f(x)+f(y)+4\).
Пусть \(f=ax+b\).
\(b=2b+4\), значит \(b=-4\). Ответ: \(f(x)=ax-4\).
Докажите, что \(x^2+y^2=8xy\) не имеет положительных целых решений.
Виета-спуск.
При минимальном решении \(x>y\). Второй корень \(x'=8y-x=\frac{y^2}{x}\) положителен, целый и меньше \(y\). Противоречие.
Найдите \(a,b,c\), если \(a+b+c=0\), \(a^2+b^2+c^2=18\), \(a^3+b^3+c^3=0\).
\(3abc=0\).
\(abc=0\), одна переменная \(0\), две противоположны, их квадраты дают \(18\). Ответ: перестановки \((3,-3,0)\).
Докажите при \(a,b,c\ge0\): \(a^3+b^3+c^3+3abc\ge\sum_{\mathrm{sym}}a^2b\).
Это неравенство Шура.
Пусть \(a\ge b\ge c\). Разность равна \(\sum a(a-b)(a-c)=(a-b)^2(a+b-c)+c(a-c)(b-c)\ge0\).
Возрастает \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x+f(y))=f(x)+y\). Найдите \(f\).
Сначала \(y=0\), потом \(x=0\).
\(f(0)=0\), \(f(f(y))=y\). Подставив \(y=f(t)\), получаем аддитивность. Возрастающая аддитивная функция \(cx\), из \(c^2=1\) и возрастания \(c=1\). Ответ \(f(x)=x\).
Найдите все целые \(n\), при которых \(n^4+4\) простое.
Разложение Софи Жермен.
\(n^4+4=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)\). Простое получается только при \(n=\pm1\).
Многочлен степени \(\le3\) имеет значения \(0,1,8,27\) при \(0,1,2,3\). Найдите \(P(4)\).
Это кубическая последовательность.
Разности \(1,7,19\), вторые \(6,12\), третья \(6\). Следующие: вторая \(18\), первая \(37\), значение \(64\).
Пусть \(x,y,z>0\). Докажите \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{x+y+z}{2}\).
Коши.
По Коши левая часть не меньше \(\frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}\).
Докажите, что \(x^2+y^2+z^2=8k+7\) не имеет целых решений.
Квадраты по модулю \(8\).
Квадраты дают \(0,1,4\); сумма трёх таких остатков не равна \(7\).