Глава
Теория
В олимпиадных уравнениях и системах редко нужно просто применить формулу. Чаще нужно сначала выбрать правильные величины: сумму, произведение, разность, симметрические выражения или новую переменную.
Хорошее решение уменьшает число неизвестных или превращает систему в одно уравнение.
Для квадратного уравнения \(x^2-Sx+P=0\) числа \(S\) и \(P\) являются суммой и произведением корней. В симметрических системах часто вводят \(s=x+y\), \(p=xy\), а для трёх переменных — \(x+y+z\), \(xy+yz+zx\), \(xyz\).
Полезны тождества \(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\) и \(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\).
Используйте замены, когда выражения повторяются, когда система симметрична, когда есть \(x+\frac1x\), \(x^2+y^2\), \(x^3+y^3\), или когда прямое решение даёт громоздкие вычисления.
В задачах с целыми числами после преобразования часто появляется разложение на множители.
Если условия не меняются при перестановке \(x\) и \(y\), ищите \(x+y\) и \(xy\). Если встречаются степени одной величины, попробуйте заменить \(u=x^2\) или \(u=x+\frac1x\). Если есть параметр, сначала выясните, какое условие он должен обеспечить: корень, касание, единственность или целочисленность.
Нельзя терять решения при возведении в квадрат, делении на выражение, которое может быть нулём, или при замене \(u=x^2\). После замены нужно вернуться к исходным переменным и проверить ограничения.
Определите тип: квадратное уравнение, симметрическая система, замена, параметр или целые решения. Проверьте область допустимых значений. Сократите число неизвестных. Решите новую задачу. Вернитесь к исходным переменным и проверьте ответы.
Примеры
Базовый приём: не раскрывать лишнее, а увидеть сумму и произведение.
Задача. Решите \(x^2-7x+12=0\).
Нужны два числа с суммой \(7\) и произведением \(12\). Это \(3\) и \(4\).
Поэтому \(x^2-7x+12=(x-3)(x-4)\), откуда \(x=3\) или \(x=4\).
Комментарий. Такой взгляд понадобится в симметрических системах.
Если встречаются только чётные степени, замените \(x^2\).
Задача. Решите \(x^4-5x^2+4=0\).
Положим \(u=x^2\), где \(u\ge0\). Получаем \(u^2-5u+4=0\), то есть \((u-1)(u-4)=0\).
Значит, \(u=1\) или \(u=4\). Поэтому \(x=\pm1\) или \(x=\pm2\).
Комментарий. Ограничение \(u\ge0\) обязательно проверяется.
Система в двух переменных часто решается через сумму и произведение.
Задача. Найдите \(x,y\), если \(x+y=6\), \(x^2+y^2=20\).
Из \(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\) получаем \(20=36-2xy\), значит \(xy=8\).
Тогда \(x,y\) — корни \(t^2-6t+8=0\). Отсюда \(t=2\) или \(t=4\). Ответ: \((2,4)\), \((4,2)\).
Комментарий. Мы восстановили пару как корни квадратного уравнения.
Кубы не надо раскрывать по отдельности.
Задача. Найдите \(x,y\), если \(x+y=5\), \(x^3+y^3=35\).
Пусть \(p=xy\). Тогда \(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=125-15p\).
Имеем \(125-15p=35\), значит \(p=6\). Теперь \(x,y\) — корни \(t^2-5t+6=0\), откуда \((x,y)=(2,3)\) или \((3,2)\).
Комментарий. Один параметр \(p=xy\) заменяет длинное раскрытие.
Выражения вида x+1/x ведут себя как новая переменная.
Задача. Если \(x+\frac1x=4\), найдите \(x^2+\frac1{x^2}\).
Возводим в квадрат:
\[\left(x+\frac1x\right)^2=x^2+2+\frac1{x^2}=16.\]
Значит, \(x^2+\frac1{x^2}=14\).
Комментарий. Проверка \(x e0\) уже содержится в исходном выражении.
Параметр часто выбирается так, чтобы появился заданный корень.
Задача. Найдите \(a\), если \(x=2\) является корнем уравнения \(x^2-ax+6=0\).
Подставляем \(x=2\): \(4-2a+6=0\).
Получаем \(10-2a=0\), значит \(a=5\). Тогда уравнение \(x^2-5x+6=0\).
Комментарий. Не нужно сначала решать уравнение в общем виде.
После преобразования уравнение в целых часто становится произведением.
Задача. Найдите целые \(x,y\), если \(x^2-y^2=16\).
\((x-y)(x+y)=16\). Множители \(x-y\) и \(x+y\) имеют одинаковую чётность.
Подходящие пары: \((2,8)\), \((4,4)\), \((-2,-8)\), \((-4,-4)\), \((8,2)\), \((-8,-2)\). Решая \(x-y=u\), \(x+y=v\), получаем все целые пары: \((5,3)\), \((4,0)\), \((-5,-3)\), \((-4,0)\), \((5,-3)\), \((-5,3)\).
Комментарий. Чётность факторных пар нельзя пропускать.
Иногда решение скрыто в вычитании уравнений.
Задача. Решите систему \(x^2+y=6\), \(y^2+x=6\).
Вычтем второе уравнение из первого:
\[x^2-y^2+y-x=0.\]
Получаем \((x-y)(x+y-1)=0\). Если \(x=y\), то \(x^2+x=6\), значит \(x=2\) или \(x=-3\). Если \(x+y=1\), подставим \(y=1-x\): \(x^2+1-x=6\), то есть \(x^2-x-5=0\). Отсюда \(x=\frac{1\pm\sqrt{21}}2\), \(y=\frac{1\mp\sqrt{21}}2\).
Комментарий. Вычитание системы создало факторизацию.
Задачи
Решите \(x^2-9x+20=0\).
Найдите два числа с суммой \(9\) и произведением \(20\).
\(x^2-9x+20=(x-4)(x-5)\). Поэтому \(x=4\) или \(x=5\).
Решите \(x^4-10x^2+9=0\).
Положите \(u=x^2\), не забывая \(u\ge0\).
Пусть \(u=x^2\). Тогда \(u^2-10u+9=0\), откуда \(u=1\) или \(u=9\).
Значит, \(x=\pm1\) или \(x=\pm3\).
Найдите все пары \(x,y\), если \(x+y=8\), \(xy=15\).
Рассмотрите \(x,y\) как корни квадратного уравнения.
Числа \(x,y\) являются корнями уравнения \(t^2-8t+15=0\).
Получаем \((t-3)(t-5)=0\). Поэтому \((x,y)=(3,5)\) или \((5,3)\).
Найдите \(a\), если \(x=3\) является корнем уравнения \(x^2-ax+12=0\).
Подставьте \(x=3\) в уравнение.
Получаем \(9-3a+12=0\), то есть \(21-3a=0\).
Следовательно, \(a=7\).
Пусть \(x\ne0\) и \(x+\frac1x=5\). Найдите \(x^2+\frac1{x^2}\).
Возведите равенство в квадрат.
\(\left(x+\frac1x\right)^2=x^2+2+\frac1{x^2}=25\).
Значит, \(x^2+\frac1{x^2}=23\).
Найдите \(x,y\), если \(x+y=7\), \(x^2+y^2=25\).
Сначала найдите \(xy\).
Из \(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\) получаем \(25=49-2xy\), значит \(xy=12\).
Тогда \(x,y\) — корни \(t^2-7t+12=0\), откуда \(t=3\) или \(t=4\). Ответ: \((3,4)\), \((4,3)\).
Решите \(x^4-13x^2+36=0\).
Положите \(u=x^2\), затем решите квадратное уравнение для \(u\).
Получаем \(u^2-13u+36=0\), то есть \((u-4)(u-9)=0\).
Так как \(u=x^2\), имеем \(x^2=4\) или \(x^2=9\). Поэтому \(x=\pm2,\pm3\).
Решите систему \(x^2+y=12\), \(y^2+x=12\).
Вычтите одно уравнение из другого.
Вычитая, получаем \(x^2-y^2+y-x=0\), то есть \((x-y)(x+y-1)=0\).
Если \(x=y\), то \(x^2+x=12\), откуда \(x=3\) или \(x=-4\). Получаем \((3,3)\), \((-4,-4)\).
Если \(x+y=1\), то \(y=1-x\), и \(x^2+1-x=12\). Тогда \(x^2-x-11=0\), откуда \(x=\frac{1\pm3\sqrt5}{2}\), \(y=\frac{1\mp3\sqrt5}{2}\).
Найдите все целые \(x,y\), для которых \(x^2-y^2=21\).
Разложите левую часть и переберите пары множителей числа \(21\).
\((x-y)(x+y)=21\). Оба множителя одной чётности, а произведение нечётно, значит оба нечётны.
Пары \((1,21)\), \((3,7)\), \((-1,-21)\), \((-3,-7)\) дают \((11,10)\), \((5,2)\), \((-11,-10)\), \((-5,-2)\).
При каких \(a\) уравнение \(x^2-4x+a=0\) имеет ровно один действительный корень?
У квадратного уравнения ровно один действительный корень, когда дискриминант равен нулю.
Дискриминант \(D=16-4a\). Нужно \(D=0\), значит \(16-4a=0\).
Получаем \(a=4\).
Найдите \(x,y\), если \(x+y=6\), \(x^3+y^3=72\).
Выразите сумму кубов через \(xy\).
\(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=216-18xy\).
Из \(216-18xy=72\) получаем \(xy=8\). Тогда \(x,y\) — корни \(t^2-6t+8=0\), значит \((x,y)=(2,4)\), \((4,2)\).
Действительные \(x,y,z\) удовлетворяют \(x+y+z=6\), \(x^2+y^2+z^2=12\). Докажите, что \(xy+yz+zx=12\).
Возведите \(x+y+z=6\) в квадрат.
\((x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)\).
Подставляем данные: \(36=12+2(xy+yz+zx)\). Значит, \(xy+yz+zx=12\).
Пусть \(x\ne0\) и \(x+\frac1x=3\). Найдите \(x^3+\frac1{x^3}\).
Используйте \((u)^3\), где \(u=x+\frac1x\).
Пусть \(u=x+\frac1x=3\). Тогда \(u^3=x^3+\frac1{x^3}+3\left(x+\frac1x\right)\).
Значит, \(27=x^3+\frac1{x^3}+9\), откуда \(x^3+\frac1{x^3}=18\).
Найдите все целые \(a\), при которых уравнение \(x^2-ax+12=0\) имеет два целых корня.
Корни должны быть целыми делителями числа \(12\).
Пусть корни равны \(m,n\). Тогда \(mn=12\), \(m+n=a\).
Перебираем целые пары делителей: \((1,12)\), \((2,6)\), \((3,4)\) и такие же отрицательные пары. Получаем \(a=13,8,7,-13,-8,-7\).
Решите систему \(x+y=5\), \(x^2-y^2=15\).
Разложите \(x^2-y^2\).
\(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\). Так как \(x+y=5\), получаем \(5(x-y)=15\), значит \(x-y=3\).
Решая \(x+y=5\), \(x-y=3\), получаем \(x=4\), \(y=1\).
Решите \( (x^2-3x)^2-2(x^2-3x)-8=0 \).
Положите \(u=x^2-3x\).
Пусть \(u=x^2-3x\). Тогда \(u^2-2u-8=0\), откуда \(u=4\) или \(u=-2\).
Если \(x^2-3x=4\), то \(x^2-3x-4=0\), \(x=4\) или \(x=-1\). Если \(x^2-3x=-2\), то \(x^2-3x+2=0\), \(x=1\) или \(x=2\).
Действительные \(x,y,z\) удовлетворяют \(x+y+z=3\), \(x^2+y^2+z^2=3\). Докажите, что \(x=y=z=1\).
Рассмотрите \((x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\).
\((x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=x^2+y^2+z^2-2(x+y+z)+3=3-6+3=0\).
Сумма квадратов равна нулю только когда все квадраты равны нулю. Значит, \(x=y=z=1\).
Решите систему \(x^2+2y=9\), \(y^2+2x=9\).
Вычтите уравнения и разложите полученное выражение.
Вычитаем: \(x^2-y^2+2y-2x=0\), то есть \((x-y)(x+y-2)=0\).
Если \(x=y\), то \(x^2+2x=9\), поэтому \(x=-1\pm\sqrt{10}\). Получаем две пары \((-1+\sqrt{10},-1+\sqrt{10})\), \((-1-\sqrt{10},-1-\sqrt{10})\).
Если \(x+y=2\), то \(y=2-x\). Подстановка даёт \(x^2+4-2x=9\), то есть \(x^2-2x-5=0\). Тогда \(x=1\pm\sqrt6\), \(y=1\mp\sqrt6\).
Найдите все натуральные \(x,y\), если \(xy=x+y+5\).
Перенесите всё влево и добавьте \(1\), чтобы получить произведение.
Имеем \(xy-x-y=5\). Добавим \(1\): \((x-1)(y-1)=6\).
Так как \(x,y\) натуральные, \(x-1\) и \(y-1\) положительные делители \(6\). Пары \((1,6)\), \((2,3)\), \((3,2)\), \((6,1)\) дают \((x,y)=(2,7),(3,4),(4,3),(7,2)\).
Найдите все действительные \(x,y\), если \(x+y=2\) и \(x^4+y^4=2\).
Сначала выразите всё через \(p=xy\).
Пусть \(p=xy\). Тогда \(x^2+y^2=4-2p\).
\(x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=(4-2p)^2-2p^2=16-16p+2p^2\).
По условию \(16-16p+2p^2=2\), значит \(p^2-8p+7=0\). Отсюда \(p=1\) или \(p=7\). Но для действительных \(x,y\) при \(x+y=2\) нужно \(p\le1\). Значит, \(p=1\), и \(x,y\) — корни \(t^2-2t+1=0\). Получаем \(x=y=1\).
Найдите все целые \(a\), при которых уравнение \(x^2-(a+1)x+a+6=0\) имеет корень \(x=3\) или \(x=4\).
Подставьте отдельно \(x=3\) и \(x=4\).
При \(x=3\): \(9-3(a+1)+a+6=0\), то есть \(12-2a=0\), значит \(a=6\).
При \(x=4\): \(16-4(a+1)+a+6=0\), то есть \(18-3a=0\), значит \(a=6\). Поэтому единственное значение \(a=6\). Тогда оба числа \(3\) и \(4\) действительно являются корнями.
Действительные \(x,y\) удовлетворяют \(x^2+y^2=2x+4y-5\). Докажите, что \(x=1\), \(y=2\).
Перенесите всё влево и дополните до квадратов.
Перепишем: \(x^2-2x+y^2-4y+5=0\).
Это \((x-1)^2+(y-2)^2=0\). Сумма квадратов равна нулю только при \(x=1\), \(y=2\).
Найдите все действительные тройки \(x,y,z\), если \(x+y+z=3\), \(xy+yz+zx=3\), \(xyz=1\).
Рассмотрите \(x,y,z\) как корни кубического многочлена.
Числа \(x,y,z\) являются корнями многочлена \(t^3-3t^2+3t-1\).
Но \(t^3-3t^2+3t-1=(t-1)^3\). Значит, все три корня равны \(1\), то есть \(x=y=z=1\).
Найдите все натуральные \(x,y,z\), если \(xyz=x+y+z+2\).
Упорядочьте \(x\le y\le z\) и оцените \(x\).
Без ограничения общности пусть \(x\le y\le z\). Если \(x\ge3\), то \(xyz\ge3yz\), а правая часть \(x+y+z+2\le z+z+z+2=3z+2\) при \(x,y\le z\), что для \(y\ge3\), \(z\ge3\) невозможно грубой оценкой \(3yz>3z+2\). Значит, \(x=1\) или \(x=2\).
Если \(x=1\), то \(yz=y+z+3\), то есть \((y-1)(z-1)=4\). Получаем \((y,z)=(2,5),(3,3),(5,2)\).
Если \(x=2\), то \(2yz=y+z+4\). Тогда \(y=1\) даёт \(2z=1+z+4\), \(z=5\); \(y=2\) даёт \(4z=2+z+4\), \(z=2\); при \(y\ge3\) левая часть слишком велика: \(2yz-y-z-4\ge6z-3-z-4=5z-7>0\). С учётом перестановок получаем все решения: перестановки \((1,2,5)\), \((1,3,3)\), \((2,1,5)\), \((2,2,2)\), то есть кратко перестановки \((1,2,5)\), \((1,3,3)\) и \((2,2,2)\).
Решите систему \(x+y+xy=11\), \(x^2+y^2=25\).
Положите \(s=x+y\), \(p=xy\).
Пусть \(s=x+y\), \(p=xy\). Тогда \(s+p=11\), а \(x^2+y^2=s^2-2p=25\).
Из \(p=11-s\) получаем \(s^2-2(11-s)=25\), то есть \(s^2+2s-47=0\). Значит, \(s=-1\pm4\sqrt3\), \(p=11-s\).
Для существования действительных \(x,y\) нужно \(s^2-4p\ge0\). Для обоих найденных значений это условие выполняется. Тогда \(x,y\) — корни \(t^2-st+p=0\). Ответ можно записать так: для каждого \(s=-1\pm4\sqrt3\), \(p=11-s\), пары \((x,y)\) являются двумя перестановками корней \(t^2-st+p=0\).
Положительные числа \(x,y,z\) обладают таким свойством: значения \(x+2y^2+2z^2\), \(y+2z^2+2x^2\), \(z+2x^2+2y^2\) равны между собой. Обязательно ли \(x=y=z\)?
Вычтите два равных выражения. Должен появиться множитель \(x-y\).
Ответ: нет, не обязательно. Покажем, как найти контрпример.
Из равенства первых двух выражений получаем \(x+2y^2=y+2x^2\). Переносим всё в одну сторону:
\[x-y-2(x^2-y^2)=0.\]
Значит, \((x-y)(1-2(x+y))=0\). Поэтому для каждой пары переменных должно выполняться: либо они равны, либо их сумма равна \(\frac12\).
Возьмём \(x=y=\frac16\), \(z=\frac13\). Тогда \(x+y=\frac13\), но \(x+z=y+z=\frac12\). Проверим значения:
\[x+2y^2+2z^2=\frac16+\frac1{18}+\frac2{9}=\frac49,\]
и аналогично два других выражения тоже равны \(\frac49\). При этом \(x,y,z\) не все равны. Значит, утверждение неверно.
Лестницы