Задача
NT-B2-M08-P009 Лемма о втором корне
#9
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть положительные целые \(x,y\) удовлетворяют \(x^2+y^2+c=mxy\), где \(c,m\) — целые числа. Докажите, что если \(y'=mx-y\) положительно, то \((x,y')\) тоже является решением.
Рассмотрите уравнение как квадратное относительно \(y\).
Запишем \(Y^2-mxY+x^2+c=0\). Один корень равен \(y\). По формуле Виета сумма корней равна \(mx\), значит второй корень \(y'=mx-y\). Так как коэффициенты целые и \(y'\) задан положительным целым числом, подстановка второго корня снова обращает квадратный трёхчлен в ноль. Поэтому \(x^2+(y')^2+c=mxy'\).
Лемма нужна для осознанного, а не механического, прыжка Виета.