Задача
NT-B2-M08-P008 Все решения уравнения \(x^2+y^2+1=3xy\)
#8
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Опишите все положительные целые решения уравнения \(x^2+y^2+1=3xy\).
Покажите, что каждое небазовое решение прыжком Виета сводится к меньшему.
Пусть \(x\le y\). При \(x=1\) получаем \(y^2-3y+2=0\), откуда \(y=1\) или \(2\). Для \(x>1\) второй корень равен \(y'=3x-y=\frac{x^2+1}{y}\). Он положителен и целый. Так как \(y\ge x\), \(y'\le x+\frac{1}{x}
Это центральная тренировочная задача модуля.