Задача
NT-B1-M02-P018 Сумма квадратов и сумма
#18
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(\gcd(a,b)=1\). Докажите, что \(\gcd(a^2+b^2,a+b)\mid2\).
По модулю \(a+b\) замените \(a\) на \(-b\).
Пусть \(d=\gcd(a^2+b^2,a+b)\). Тогда \(a\equiv -b\pmod d\), поэтому \(a^2+b^2\equiv2b^2\pmod d\). Значит, \(d\mid2b^2\). Но \(\gcd(a+b,b)=\gcd(a,b)=1\), следовательно, \(\gcd(d,b)=1\). Поэтому из \(d\mid2b^2\) получаем \(d\mid2\).
Задача содержит две идеи: замена по модулю НОД и сокращение через взаимную простоту.