Задача
NT-B1-M02-P017 Степени взаимно простых чисел
#17
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите: если \(\gcd(a,b)=1\), то \(\gcd(a^m,b^n)=1\) для любых положительных \(m,n\).
Сравните простые делители \(a\) и \(b\).
Если простой \(p\) делит \(a^m\), то \(p\mid a\). Если бы тот же \(p\) делил \(b^n\), то \(p\mid b\), что противоречит \(\gcd(a,b)=1\). Значит, общих простых делителей у \(a^m\) и \(b^n\) нет, и их НОД равен \(1\).
Закрепляет перенос взаимной простоты на степени.