Задача
GEO-B3-M05-P014 Расстояния от точки Лемуана
Пусть \(K\) — точка Лемуана треугольника \(ABC\), а расстояния от \(K\) до сторон \(BC,CA,AB\) равны \(x,y,z\). Докажите, что \(x:y:z=BC:CA:AB\).
C. Подсказка 1. Используйте барицентрические координаты точки Лемуана.
D. Подсказка 2. Чтобы перейти к расстояниям до сторон, замените барицентрики на трилинейные координаты.
Точка Лемуана имеет барицентрические координаты \((a^2:b^2:c^2)\), где \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\). Трилинейные координаты точки пропорциональны расстояниям до сторон, а связь между барицентрическими и трилинейными координатами такова: \((u:v:w)_{\text{bar}}=(a x:b y:c z)\).
Поэтому из \((a x:b y:c z)=(a^2:b^2:c^2)\) получаем \(x:y:z=a:b:c\). Значит, расстояния от точки Лемуана до сторон пропорциональны длинам соответствующих сторон.
Это хорошая точка входа в трилинейные координаты без перегруза.