Задача
GEO-B3-M05-P013 Описанная окружность как окружность девяти точек
Пусть \(I_a,I_b,I_c\) — центры вневписанных окружностей треугольника \(ABC\). Докажите, что описанная окружность \(ABC\) является окружностью девяти точек треугольника \(I_aI_bI_c\).
C. Подсказка 1. Вспомните, что вершины \(A,B,C\) являются основаниями высот эксцентрального треугольника.
D. Подсказка 2. Три основания высот уже определяют окружность девяти точек.
В эксцентральном треугольнике \(I_aI_bI_c\) внутренние биссектрисы исходного треугольника становятся высотами. Например, прямая \(AI\) перпендикулярна стороне \(I_bI_c\), поэтому точка \(A\) является основанием одной из высот. Аналогично \(B\) и \(C\) — основания двух других высот.
Окружность девяти точек любого треугольника проходит через основания его высот. Значит, окружность девяти точек треугольника \(I_aI_bI_c\) проходит через \(A,B,C\). Единственная окружность через \(A,B,C\) — описанная окружность исходного треугольника. Следовательно, они совпадают.
Задача соединяет вневписанные окружности и окружность девяти точек.