Задача
GEO-B3-M05-P010 Центр окружности девяти точек
Докажите, что центр окружности девяти точек треугольника \(ABC\) является серединой отрезка \(OH\), где \(O\) — центр описанной окружности, \(H\) — ортоцентр.
C. Подсказка 1. Рассмотрите середины \(AH,BH,CH\).
D. Подсказка 2. Они являются образами \(A,B,C\) при гомотетии с центром \(H\).
Гомотетия с центром \(H\) и коэффициентом \(\frac12\) переводит \(A,B,C\) в середины \(AH,BH,CH\). Поэтому окружность через эти три середины является образом описанной окружности \(ABC\).
Образ центра \(O\) при этой гомотетии — середина \(OH\). Следовательно, именно эта точка является центром окружности через середины \(AH,BH,CH\). Так как эта окружность совпадает с окружностью девяти точек, её центр — середина \(OH\).
Это короткая задача, но она нужна для последующих связей с прямой Эйлера.