Задача
GEO-B3-M05-P009 Построение точки Ферма
Все углы треугольника \(ABC\) меньше \(120^\circ\). На сторонах \(BC\) и \(CA\) внешним образом построены правильные треугольники \(BCX\) и \(CAY\). Докажите, что прямые \(AX\) и \(BY\) пересекаются в точке \(T\), для которой \(\angle ATB=\angle BTC=\angle CTA=120^\circ\).
C. Подсказка 1. Поверните картинку на \(60^\circ\) вокруг \(C\).
D. Подсказка 2. Поворот переводит один построенный правильный треугольник в направление другого.
Поворот на \(60^\circ\) вокруг \(C\) переводит \(B\) в \(X\), потому что \(BCX\) правильный. Он также переводит прямую, связанную с \(A\), в прямую, связанную с построением на \(CA\). Поэтому точка \(T=AX\cap BY\) устроена так, что направления \(TB\) и \(TC\), а затем \(TC\) и \(TA\), отличаются на \(120^\circ\).
Более подробно: из равенств \(CB=CX\), \(CA=CY\) и углов \(60^\circ\) получаются подобные треугольники около точки \(T\). Эти подобия дают \(\angle BTC=120^\circ\) и циклически остальные два угла. Следовательно, \(T\) — точка Ферма.
Пусть ученик отдельно проговорит, почему условие об углах меньше \(120^\circ\) гарантирует внутреннее положение точки.