Задача
GEO-B2-M09-P012 Линия Эйлера в числах
В треугольнике \(A(0,0)\), \(B(6,0)\), \(C(2,4)\) найдите центр описанной окружности \(O\), ортоцентр \(H\) и центроид \(G\). Докажите, что \(O,G,H\) лежат на одной прямой и \(OG:GH=1:2\).
Сначала найдите \(O\) как пересечение серединных перпендикуляров. Для \(H\) используйте высоты.
Серединный перпендикуляр к \(AB\) имеет уравнение \(x=3\). Из равенства \(OA=OC\) получаем \(9+y^2=(3-2)^2+(y-4)^2\), откуда \(y=1\). Значит \(O(3,1)\). По формуле ортоцентра для \(p=6,q=2,r=4\): \(H(2,2)\). Центроид \(G\left(\frac{0+6+2}{3},\frac{0+0+4}{3}\right)=\left(\frac83,\frac43\right)\). Вектор \(\overrightarrow{OH}=(-1,1)\), а \(\overrightarrow{OG}=\left(-\frac13,\frac13\right)=\frac13\overrightarrow{OH}\). Поэтому точки коллинеарны и \(OG:GH=1:2\).
Числовая подготовка к общей задаче про линию Эйлера.