Задача
GEO-B2-M09-P011 Одинаковые отношения
#11
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
В треугольнике \(A(0,0)\), \(B(1,0)\), \(C(0,1)\) точки \(P\in AB\), \(Q\in AC\) таковы, что \(AP:PB=AQ:QC=m:n\). Докажите, что \(PQ\parallel BC\) и \(PQ:BC=m:(m+n)\).
Положите \(t=\frac{m}{m+n}\). Тогда \(P(t,0)\), \(Q(0,t)\).
Имеем \(P(t,0)\), \(Q(0,t)\). Вектор \(\overrightarrow{PQ}=(-t,t)=t(-1,1)\), а \(\overrightarrow{BC}=(-1,1)\). Значит \(PQ\parallel BC\) и \(PQ=t\cdot BC\). Так как \(t=\frac{m}{m+n}\), получаем \(PQ:BC=m:(m+n)\).
Хорошая задача на параметрическую запись точки на отрезке.