Задача
GEO-B2-M01-P002 Обратный признак цикличности
Четыре различные точки \(A,B,C,D\) таковы, что никакие три из них не лежат на одной прямой и \(\angle ABC\equiv\angle ADC\pmod{180^\circ}\). Докажите, что \(A,B,C,D\) лежат на одной окружности.
Рассмотрите окружность через \(A,B,C\) и вспомните, как выглядит множество точек, из которых отрезок \(AC\) виден под фиксированным углом.
Проведём окружность через \(A,B,C\). Любая точка этой окружности, отличная от \(A\) и \(C\), видит хорду \(AC\) под углом, равным \(\angle ABC\) в ориентированной записи. По условию точка \(D\) видит тот же отрезок \(AC\) под тем же ориентированным углом. Следовательно, \(D\) принадлежит этой окружности, и точки \(A,B,C,D\) цикличны.
Важно проговорить невырожденность: без неё признак нельзя применять механически.