Задача
GEO-B1-M08-P009 Середины сторон четырёхугольника
#9
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) точки \(M,N,P,Q\) — середины сторон \(AB,BC,CD,DA\). Докажите, что \(MNPQ\) — параллелограмм.
Проведите диагонали исходного четырёхугольника.
Проведём \(AC\). В треугольнике \(ABC\) отрезок \(MN\) — средняя линия, значит \(MN\parallel AC\). В треугольнике \(CDA\) отрезок \(PQ\) — средняя линия, значит \(PQ\parallel AC\). Следовательно, \(MN\parallel PQ\). Аналогично через диагональ \(BD\) получаем \(NP\parallel MQ\). Значит \(MNPQ\) — параллелограмм.
Смешивает четырёхугольники, средние линии и вспомогательную диагональ.