Задача
COM-B2-M09-P014 Центральный ограниченный коэффициент
#14
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите коэффициент при \(x^{12}\) в \((1+x+x^2+x^3)^8\).
Это число решений \(a_1+\cdots+a_8=12\), где \(0\le a_i\le 3\). Используйте включения-исключения по условиям \(a_i\ge 4\).
Без верхней границы решений \(\binom{19}{7}=50388\). Если выбранная переменная не меньше \(4\), после вычитания \(4\) остается сумма \(8\), что дает \(\binom{15}{7}=6435\) решений; таких переменных \(8\). Для двух переменных остается сумма \(4\), что дает \(\binom{11}{7}=330\) решений; пар \(\binom{8}{2}=28\). Для трех переменных остается сумма \(0\), что дает \(1\) решение; троек \(\binom{8}{3}=56\). Четыре переменные невозможны. Искомый коэффициент равен
\[50388-8\cdot 6435+28\cdot 330-56=8092.\]
Тренирует длинное, но контролируемое включение-исключение.