Задача
COM-B2-M09-P013 Шесть ограниченных слагаемых
#13
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите число решений в целых числах уравнения \(a_1+\cdots+a_6=24\), если \(1\le a_i\le 7\) для всех \(i\).
Сначала уберите нижнюю границу: положите \(b_i=a_i-1\).
Пусть \(b_i=a_i-1\). Тогда \(b_1+\cdots+b_6=18\) и \(0\le b_i\le 6\). Без верхней границы решений \(\binom{23}{5}=33649\). Если один \(b_i\ge 7\), остается сумма \(11\), значит, \(\binom{16}{5}=4368\) решений; таких переменных \(6\). Если два \(b_i\ge 7\), остается сумма \(4\), значит, \(\binom{9}{5}=126\) решений; пар \(\binom{6}{2}=15\). Три переменные не могут быть не меньше \(7\), потому что сумма стала бы отрицательной после вычитания. Ответ: \(33649-6\cdot 4368+15\cdot 126=9331\).
Уровень повышен из-за двух сдвигов: нижняя граница и верхняя граница.