Задача
ALG-B2-M11-P018 Квадраты и кубы
#18
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c\ge0\): \[(a^2+b^2+c^2)^3\ge(a^3+b^3+c^3)^2.\]
Подсказка. Сначала оцените \((\sum a^3)^2\) через \(\sum a^2\) и \(\sum a^4\).
По Cauchy, \[(\sum a^3)^2=(\sum a\cdot a^2)^2\le(\sum a^2)(\sum a^4).\] Кроме того, \(\sum a^4\le(\sum a^2)^2\). Следовательно, \((\sum a^3)^2\le(\sum a^2)^3\).
Методическая цель: ученик должен сначала распознать тип оценки, а уже потом выбирать инструмент.