Задача
ALG-B2-M11-P017 Циклический корень
#17
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(x_1,x_2,x_3,x_4>0\), причём \(x_5=x_1\). Докажите \[\sum_{i=1}^4 (x_{i+1}-x_i)\sqrt{x_i^2+3x_{i+1}^2}\ge0.\]
Подсказка. Докажите локально \((v-u)\sqrt{u^2+3v^2}\ge v^2-u^2\).
Для \(u,v>0\) сравним корень с \(u+v\). Если \(v\ge u\), то \(\sqrt{u^2+3v^2}\ge u+v\). Если \(v\le u\), то \(\sqrt{u^2+3v^2}\le u+v\), но \(v-u\le0\), поэтому после умножения знак меняется. В обоих случаях \[(v-u)\sqrt{u^2+3v^2}\ge(v-u)(u+v)=v^2-u^2.\] Применяя это к \(u=x_i\), \(v=x_{i+1}\), получаем сумму не меньше \(\sum(x_{i+1}^2-x_i^2)=0\).
Методическая цель: ученик должен сначала распознать тип оценки, а уже потом выбирать инструмент.