Задача
ALG-B2-M03-P004 Несбитт
#4
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac32.\]
Подсказка 1. Запишите \(a=\frac{a^2}{a}\).
Подсказка 2. Сумма знаменателей после Cauchy равна \(2(ab+bc+ca)\).
\[\sum\frac{a}{b+c}=\sum\frac{a^2}{a(b+c)}\ge\frac{(a+b+c)^2}{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}=\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\ge\frac32,\] поскольку \((a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)\).
Учебная задача модуля Cauchy-Schwarz. Методические теги: cauchy, engel-form.