Задача
ALG-B2-M03-P003 Сумма обратных
#3
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Если \(a,b,c>0\) и \(a+b+c=12\), докажите \(\frac1a+\frac1b+\frac1c\ge\frac34\).
Подсказка 1. Примените Cauchy к \(1,1,1\).
Подсказка 2. \((1+1+1)^2\le(a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)\).
По Cauchy, \[9=(1+1+1)^2\le(a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)=12\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right).\] Отсюда следует требуемое.
Учебная задача модуля Cauchy-Schwarz. Методические теги: cauchy, reciprocals.