Задача
ALG-B2-M02-P015 Дробно-линейная замена
Вещественные \(u_1,u_2,u_3,u_4\) по модулю больше \(1\), и \[\prod_{i=1}^{4}\frac{u_i+1}{u_i-1}=1.\] Докажите \[\frac1{u_1-1}+\frac1{u_2-1}+\frac1{u_3-1}+\frac1{u_4-1}>0.\]
Подсказка 1. Положите \(x_i=\frac{u_i+1}{u_i-1}\).
Подсказка 2. Тогда \(x_1x_2x_3x_4=1\), а \(\frac1{u_i-1}=\frac{x_i-1}{2}\).
Так как \(|u_i|>1\), числа \(x_i=\frac{u_i+1}{u_i-1}\) положительны. Их произведение равно \(1\). Кроме того, \(\frac1{u_i-1}=\frac{x_i-1}{2}\). Поэтому нужно доказать \(x_1+x_2+x_3+x_4>4\). По AM-GM \(x_1+x_2+x_3+x_4\ge4\sqrt[4]{x_1x_2x_3x_4}=4\). Равенство возможно только при всех \(x_i=1\), что невозможно, так как \(x_i=1\) не получается из конечного \(u_i\). Значит, сумма строго больше \(4\), и требуемая сумма положительна.
A. Анализ источника. Главные объекты: положительные величины, произведение или сумма, выбор правильных слагаемых для AM-GM и строгий случай равенства. Очевидный первый подход обычно пытается применить AM-GM к видимым слагаемым, но этого мало. Скрытое наблюдение: надо предварительно нормировать, упорядочить, домножить или заменить выражение так, чтобы произведение нужных членов стало контролируемым.
B. Новая задача. Формулировка изменена; сохранена только архитектура метода.
C-D. Подсказки. Две подсказки находятся в полях hint: первая мягкая, вторая указывает уровень метода.
E. Полное решение. Дано в поле solution.
F. Обоснование сложности. Финальный уровень 8: нужна неочевидная дробно-линейная замена и строгий equality case.
G. Почему это не одноходовая задача. AM-GM применим только после превращения условия в произведение положительных новых переменных.