Задача
ALG-B2-M02-P014 Корни и условие \(ab+bc+ca\)
Положительные \(a,b,c\) удовлетворяют \(ab+bc+ca=2\). Докажите \[\sqrt{a+\frac2a}+\sqrt{b+\frac2b}+\sqrt{c+\frac2c}\ge2(\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c).\]
Подсказка 1. Докажите отдельно \(\sqrt{a+\frac2a}\ge\sqrt b+\sqrt c\).
Подсказка 2. Замените \(2\) на \(ab+bc+ca\).
Так как \(ab+bc+ca=2\), \[a+\frac2a=a+\frac{ab+ac+bc}{a}=a+b+c+\frac{bc}{a}.\] По AM-GM, \(a+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{bc}\). Поэтому \(a+\frac2a\ge b+c+2\sqrt{bc}=(\sqrt b+\sqrt c)^2\), то есть \(\sqrt{a+\frac2a}\ge\sqrt b+\sqrt c\). Складывая три циклические оценки, получаем требуемое.
A. Анализ источника. Главные объекты: положительные величины, произведение или сумма, выбор правильных слагаемых для AM-GM и строгий случай равенства. Очевидный первый подход обычно пытается применить AM-GM к видимым слагаемым, но этого мало. Скрытое наблюдение: надо предварительно нормировать, упорядочить, домножить или заменить выражение так, чтобы произведение нужных членов стало контролируемым.
B. Новая задача. Формулировка изменена; сохранена только архитектура метода.
C-D. Подсказки. Две подсказки находятся в полях hint: первая мягкая, вторая указывает уровень метода.
E. Полное решение. Дано в поле solution.
F. Обоснование сложности. Региональный уровень 7: ключевой ход — встроить условие внутрь каждого радикала.
G. Почему это не одноходовая задача. Если применять AM-GM к исходной сумме сразу, нужные пары под корнями не появляются.