Задача
ALG-B2-M01-P023 Сумма трёх дробей
Существуют ли различные действительные числа \(x,y,z\), для которых \[\frac1{x^2+x+1}+\frac1{y^2+y+1}+\frac1{z^2+z+1}=4?\]
Подсказка 1. Найдите максимум одной дроби.
Подсказка 2. Равенство суммы требует равенства во всех трёх слагаемых.
Для любого \(t\) имеем \(t^2+t+1=\left(t+\frac12\right)^2+\frac34\ge\frac34\). Поэтому \(\frac1{t^2+t+1}\le\frac43\), причём равенство только при \(t=-\frac12\). Сумма трёх таких дробей не превосходит \(4\). Если она равна \(4\), то каждая дробь равна \(\frac43\), значит \(x=y=z=-\frac12\), что невозможно при различных числах. Ответ: не существуют.
A. Анализ источника. Главные объекты: неравенства, порядок, экстремальный элемент или инвариант. Очевидный первый ход обычно даёт только локальную оценку. Скрытое наблюдение: надо выбрать правильную величину, которая не может уменьшаться, либо перемножить/сложить неравенства только после проверки знаков. Нужный шаг: переход к упорядоченной записи, инварианту, произведению или граничному случаю.
F. Обоснование сложности. Региональный уровень 7: помимо оценки нужна строгая проверка случая равенства.
G. Почему это не одноходовая задача. Оценка каждой дроби сама по себе не исключает сумму \(4\), пока не разобран equality case.