Задача
ALG-B2-M01-P022 Разности как границы
Последовательность \(a_1,\ldots,a_{150}\) такова, что для любых \(n,k\) выполняется \(a_n-a_k\ge n^3-k^3\). Известно, что \(a_{75}=0\). Найдите \(a_{150}\).
Подсказка 1. Запишите условие для пары \((150,75)\).
Подсказка 2. Потом поменяйте \(n\) и \(k\) местами.
При \(n=150,k=75\) получаем \(a_{150}-a_{75}\ge150^3-75^3\), то есть \(a_{150}\ge150^3-75^3\). При \(n=75,k=150\) получаем \(a_{75}-a_{150}\ge75^3-150^3\), то есть \(a_{150}\le150^3-75^3\). Поэтому \[a_{150}=150^3-75^3=7\cdot75^3.\]
A. Анализ источника. Главные объекты: неравенства, порядок, экстремальный элемент или инвариант. Очевидный первый ход обычно даёт только локальную оценку. Скрытое наблюдение: надо выбрать правильную величину, которая не может уменьшаться, либо перемножить/сложить неравенства только после проверки знаков. Нужный шаг: переход к упорядоченной записи, инварианту, произведению или граничному случаю.
F. Обоснование сложности. Региональный уровень 6: идея короткая, но надо применить условие в обе стороны.
G. Почему это не одноходовая задача. Одна подстановка даёт только нижнюю границу.