Задача
ALG-B1-M09-P006 Пятая степень
#6
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Докажите, что \(n^5-n\) делится на \(5\) при любом целом \(n\).
Рассмотрите остатки \(n\) по модулю \(5\).
Достаточно проверить \(n\equiv0,1,2,3,4\pmod5\). Получаем \(n^5\equiv n\pmod5\) для каждого остатка: \(0^5=0\), \(1^5=1\), \(2^5=32\equiv2\), \(3^5=243\equiv3\), \(4^5\equiv(-1)^5\equiv-1\equiv4\). Значит, \(n^5-n\equiv0\pmod5\).
Первая осознанная проверка всех остатков.