Задача
ALG-B1-M06-P011 Три разности
#11
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(a+b+c=0\). Докажите, что \((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=3(a^2+b^2+c^2)\).
Раскройте левую часть и замените \(ab+bc+ca\).
Левая часть равна \(2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\). Так как \(a+b+c=0\), имеем \(ab+bc+ca=-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\).
Подставляя, получаем \(2\left(a^2+b^2+c^2+\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\right)=3(a^2+b^2+c^2)\).
Хорошая задача на перенос базового тождества в новую форму.