Задача
ALG-B1-M02-P023 Фактор через зануление
#23
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите, что \(a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a)\).
Обе части имеют степень \(3\). Проверьте множители \(a-b\), \(b-c\), \(c-a\), затем знак.
Левая часть обращается в ноль при \(a=b\), при \(b=c\) и при \(c=a\). Значит, она делится на \((a-b)(b-c)(c-a)\).
Так как степень равна \(3\), левая часть равна \(k(a-b)(b-c)(c-a)\). Подставим \(a=1\), \(b=2\), \(c=3\). Левая часть равна \(-2\), а произведение равно \(2\). Поэтому \(k=-1\).
Тождество доказано.
Это важный переход от механической факторизации к структурной.