Задача
ALG-B1-M02-P022 Две разности квадратов
#22
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите все целые пары \(x,y\), для которых \(x^2-y^2=24\) и \(x-y>0\).
Положите \(u=x-y\), \(v=x+y\); у \(u\) и \(v\) одинаковая чётность.
Имеем \((x-y)(x+y)=24\). Пусть \(u=x-y>0\), \(v=x+y\). Тогда \(uv=24\), а \(u\) и \(v\) одной чётности.
Подходят пары \((2,12)\), \((4,6)\), \((-2,-12)\), \((-4,-6)\) с положительным \(u\) только первые две пары. Из \(x=\frac{u+v}{2}\), \(y=\frac{v-u}{2}\) получаем \((x,y)=(7,5)\), \((5,1)\).
Если \(v<0\), при \(u>0\) произведение было бы отрицательным, поэтому других решений нет.
Следите за чётностью, иначе появляются лишние полуцелые ответы.