Задача
ALG-B1-M02-P019 Циклическое выражение
#19
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Разложите \(a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)\).
Проверьте, что выражение обращается в ноль при \(a=b\), \(b=c\), \(c=a\).
Обозначим выражение через \(E\). Если \(a=b\), то после подстановки \(E=0\), значит есть множитель \(a-b\). Аналогично есть множители \(b-c\) и \(c-a\).
Так как степень выражения равна \(3\), получаем \(E=k(a-b)(b-c)(c-a)\). Подставим \(a=1\), \(b=2\), \(c=3\): \(E=2\), а \((a-b)(b-c)(c-a)=2\). Значит, \(k=1\).
Итак, \(E=(a-b)(b-c)(c-a)\).
Это уже олимпиадное распознавание множителей через зануление.