Геометрия. Книга 3

Из определения \(OA\cdot OA^*=OB\cdot OB^*=R^2\). Поэтому \(\frac{OA}{OB}=\frac{OB^*}{OA^*}\), а угол при \(O\) общий: \(\angle AOB=\angle B^*OA^*\). Следовательно, треугольники подобны.

Комментарий: это базовый механизм, который потом заменяет длинные вычисления углов.

Для любой точки \(M\in l\) её образ \(M^*\) лежит на луче \(OM\). Из подобия \(\triangle OCM\) и \(\triangle OM^*C^*\) получаем \(\angle OM^*C^*=90^\circ\). Значит, \(M^*\) лежит на окружности с диаметром \(OC^*\). Обратное включение получается тем же рассуждением назад.

Пусть \(A\) — вторая точка пересечения \(\omega\) с прямой, соединяющей \(O\) и центр \(\omega\). Для любой точки \(M\in\omega\) угол \(\angle OMA=90^\circ\). После инверсии это превращается в условие, что \(M^*\) лежит на прямой, перпендикулярной \(OA\) и проходящей через \(A^*\).

Если \(X\in\gamma\), то прямая \(OX\) пересекает \(\gamma\) ещё в точке \(Y\). Из ортогональности следует, что степень точки \(O\) относительно \(\gamma\) равна \(R^2\), то есть \(OX\cdot OY=R^2\). Следовательно, \(Y=X^*\). Значит, образ каждой точки \(\gamma\) снова лежит на \(\gamma\).

Инверсия сохраняет угол между кривыми. У касающихся окружностей угол между касательными в точке \(T\) равен \(0^\circ\). После инверсии угол между образами также равен \(0^\circ\), значит, образы имеют общую касательную в точке \(T^*\), то есть касаются.

Каждая окружность проходит через центр инверсии, значит, перейдёт в прямую. Обе прямые проходят через \(B^*\), потому что точка \(B\) принадлежит обеим окружностям. Поэтому сложный рисунок из двух окружностей превращается в две прямые, пересекающиеся в \(B^*\).

Обе окружности проходят через центр инверсии, поэтому их образы — прямые. Так как окружности касаются в \(A\), угол между ними равен \(0^\circ\). Инверсия сохраняет угол, значит, угол между образами равен \(0^\circ\). Две различные прямые с нулевым углом параллельны.

Касание и углы сохраняются. Если две данные окружности стали концентрическими, то всякая окружность, касающаяся обеих, имеет радиус, равный половине разности радиусов концентрических окружностей. Значит, все окружности цепочки становятся равными. После этого многие утверждения превращаются в простые повороты вокруг общего центра.

Проекция из центра \(O\) переводит \(A,B,C,D\) соответственно в \(A_1,B_1,C_1,D_1\). Для четырёх лучей из одной точки двойное отношение можно выразить через синусы углов между лучами. Если пересечь эти лучи любой прямой, не проходящей через \(O\), то те же отношения получаются через отрезки на этой прямой.

Иначе говоря, двойное отношение принадлежит не самой прямой \(l\), а пучку четырёх лучей. Поэтому при переходе с \(l\) на \(m\) оно не меняется.

Комментарий. Это базовый механизм большинства задач модуля: проекция меняет длины, но сохраняет двойное отношение.

Пусть \(X\) - произвольная точка прямой, а \(X'\) - её образ. Так как преобразование проективно, оно сохраняет двойное отношение:

\[ (A B C X)=(A B C X'). \]

Для фиксированных различных \(A,B,C\) значение \((A B C X)\) однозначно определяет точку \(X\). Следовательно, \(X'=X\). Значит, все точки неподвижны.

Комментарий. Этот приём особенно силён в задачах, где сложная композиция проекций оказывается самопреобразованием одной прямой.

Применим проективное преобразование, которое отправляет центр перспективы в бесконечно удалённую точку. Тогда прямые \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) становятся параллельными.

В новой аффинной картинке вершины второго треугольника получены из вершин первого сдвигами вдоль одного направления, возможно с разными коэффициентами. Стандартная аффинная форма теоремы Дезарга даёт, что пересечения соответствующих сторон лежат на одной прямой.

Коллинеарность сохраняется при обратном проективном преобразовании, поэтому утверждение верно в исходной конфигурации.

По теореме Паскаля для шестиугольника \(ABCDEF\) точки \(P=AB\cap DE\), \(Q=BC\cap EF\), \(R=CD\cap FA\) лежат на одной прямой.

Так как \(AB\parallel DE\), точка \(P\) является бесконечно удалённой точкой направления \(AB\). Значит, прямая \(QR\), проходящая через \(P\), имеет то же направление. Поэтому \(QR\parallel AB\).

Применим Паскаля к вырожденному шестиугольнику \(A,A,B,C,C,D\). Сторона \(AA\) означает касательную в \(A\), а сторона \(CC\) - касательную в \(C\).

Три пары противоположных сторон дают точки \(X\), \(Y\), \(Z\). Поэтому по Паскалю они лежат на одной прямой.

Комментарий. Это один из самых частых способов получать “полярные” прямые без полной теории полюсов и поляр.

Первый шаг \(X\mapsto Y\) - центральное проектирование прямой \(l\) на окружность из точки \(M\). Второй шаг \(Y\mapsto X'\) - центральное проектирование окружности на \(l\) из точки \(N\).

Если окружность отождествить с прямой при помощи любого фиксированного проектирования, оба шага становятся проективными отображениями прямых. Композиция проективных отображений снова проективна.

Проективные преобразования позволяют отправлять выбранную обычную прямую в бесконечно удалённую, если мы работаем только с инцидентностью и не требуем сохранения длин или углов. Образ коники при таком преобразовании снова является коникой.

После этого все прямые, пересекавшиеся на \(s\), становятся параллельными. Если итоговое утверждение является коллинеарностью, конкурентностью или касанием, его можно доказать в новой модели и вернуть обратно.

Это теорема Паппа. Её можно рассматривать как вырожденный случай Паскаля: коника распадается на две прямые, на одной лежат \(A,B,C\), на другой - \(A_1,B_1,C_1\).

Применяя паскалеву схему к шести точкам на такой вырожденной конике, получаем коллинеарность трёх пересечений \(P,Q,R\).

Треугольники \(OAP\) и \(OBP\) прямоугольные, имеют общую гипотенузу \(OP\) и равные катеты \(OA=OB\). Значит, они равны, а точки \(A\) и \(B\) симметричны относительно \(OP\). Поэтому \(AB\perp OP\).

В прямоугольном треугольнике \(OAP\) высота \(AH\) к гипотенузе даёт \(OA^2=OH\cdot OP\). Так как \(OA=R\), получаем \(OP\cdot OH=R^2\).

Если \(X(x,y)\) лежит на поляре \(P\), то вектор \(OX\) имеет постоянную проекцию на направление \(OP\). Условие \(OP\cdot OH=1\) даёт скалярное равенство

\[ px+qy=1. \]

Именно эта прямая перпендикулярна \(OP\) и пересекает \(OP\) в точке \(H\), для которой \(OP\cdot OH=1\). Следовательно, это и есть поляра \(P\).

Для единичной окружности пусть \(P=(p,q)\), \(Q=(u,v)\). Условие \(Q\in p\) означает \(pu+qv=1\).

Поляра точки \(Q\) имеет уравнение \(ux+vy=1\). Подставляя координаты \(P\), получаем \(up+vq=1\). Значит, \(P\) лежит на поляре \(Q\).

По определению поляры точка пересечения поляры \(P\) с прямой \(OP\) должна быть такой точкой \(H'\), что \(OP\cdot OH'=R^2\), а сама поляра должна быть перпендикулярна \(OP\). Но \(l\perp OP\) и \(OP\cdot OH=R^2\). Значит, \(l\) совпадает с полярой точки \(P\).

Точка \(T\) имеет полярой хорду \(AB\), потому что \(TA\) и \(TB\) - касательные. Точка \(P\) лежит на прямой \(AB\), то есть на поляре \(T\). По теореме Ла Ира точка \(T\) лежит на поляре \(P\).

Возьмём секущую \(PAB\). Пересечение касательных в \(A\) и \(B\) лежит на поляре \(P\). То же верно для секущей \(PCD\). Прямая через эти две точки является полярой \(P\).

По вырожденной форме Паскаля для четырёх точек \(A,B,C,D\) эта прямая проходит через \(Q\) и \(R\). Следовательно, поляра \(P\) совпадает с \(QR\).

Пусть \(R=AD\cap BC\). Для полного четырёхугольника \(ABCD\) поляра точки \(R\) есть прямая \(PQ\). Но \(S\) лежит на поляре \(R\), потому что \(R,A,D\) коллинеарны, а \(S\) - пересечение касательных в \(A\) и \(D\). Поэтому \(S\in PQ\), то есть \(P,Q,S\) коллинеарны.

Рассмотрим шесть точек касания сторон с окружностью. Теорема Паскаля для этих шести точек после перехода к полюсам и полярам превращается в двойственное утверждение: три прямые, соединяющие противоположные вершины описанного шестиугольника, проходят через одну точку.

Именно эти прямые - \(AD\), \(BE\), \(CF\). Значит, они конкурентны.

Так как \(PA_1\perp BC\), а \(A_1\in BC\), то \(\angle PA_1C=90^\circ\). Аналогично \(\angle PB_1C=90^\circ\). Значит, точки \(A_1\) и \(B_1\) лежат на окружности с диаметром \(PC\). Поэтому \(P,A_1,C,B_1\) цикличны.

Из прямых углов получаем циклические четырёхугольники \(P,A_1,C,B_1\) и \(P,B_1,A,C_1\). Поэтому направленные углы между \(B_1A_1\), \(B_1C_1\) и сторонами треугольника выражаются через углы \(\angle PCA\), \(\angle PAB\).

Так как \(A,B,C,P\) лежат на одной окружности, соответствующие вписанные углы равны. Отсюда \(\angle A_1B_1C=\angle C_1B_1A\), значит лучи \(B_1A_1\) и \(B_1C_1\) противоположны. Следовательно, \(A_1,B_1,C_1\) коллинеарны.

Повторим угловую цепочку из доказательства прямой теоремы в обратном направлении. Цикличность \(P,A_1,C,B_1\) и \(P,B_1,A,C_1\) даёт выражение углов при \(B_1\) через \(\angle PCA\) и \(\angle PAB\). Коллинеарность \(A_1,B_1,C_1\) означает, что эти направленные углы совпадают.

Следовательно, \(\angle PCA=\angle PBA\) в направленном смысле. Это ровно критерий того, что \(A,B,C,P\) лежат на одной окружности.

Если \(P\) лежит на описанной окружности, то по теореме Уоллеса-Симсона три проекции коллинеарны, то есть педальный треугольник вырождается.

Обратно, если педальный треугольник вырожден, его три вершины коллинеарны. По обратной теореме Симсона \(P\) лежит на описанной окружности.

Направление прямой Симсона можно выразить через вписанные углы, опирающиеся на дуги с концом \(P\). При перемещении \(P\) на дугу угловой величины \(2\varphi\) каждый соответствующий вписанный угол меняется на \(\varphi\).

Так как направление прямой Симсона определяется именно таким вписанным углом, оно поворачивается на половину углового перемещения точки \(P\).

Обозначим проекции \(P\) на стороны через \(A_1,B_1,C_1\), а середину \(PH\) через \(M\). Из параллельностей \(BH\perp AC\), \(CH\perp AB\) и определений \(B_1,C_1\) получается, что проекции точки \(M\) на направления, параллельные \(AB\) и \(AC\), лежат на одной прямой \(B_1C_1\).

Точнее, в гомотетии с центром \(P\) и коэффициентом \(\frac12\) отрезки, связанные с высотами из \(H\), переходят в отрезки к основаниям перпендикуляров из \(P\). Поэтому \(M\in B_1C_1\). Так как \(A_1,B_1,C_1\) коллинеарны, \(M\) лежит на прямой Симсона.

При переходе от \(P\) к диаметрально противоположной точке \(Q\) радиус \(OP\) поворачивается на \(180^\circ\). По факту о направлении прямой Симсона её направление поворачивается на половину этого угла, то есть на \(90^\circ\). Поэтому прямые Симсона точек \(P\) и \(Q\) перпендикулярны.

При \(\alpha=90^\circ\) это обычная теорема Симсона. Для произвольного \(\alpha\) повернём каждую из трёх перпендикулярных проекций вокруг \(P\) на угол \(90^\circ-\alpha\). Из-за одинакового угла поворота соответствие между обычными основаниями и новыми точками задаётся одной поворотной гомотетией с центром \(P\).

Поворотная гомотетия переводит прямую в прямую. Поэтому образ обычной прямой Симсона снова является прямой, и новые три точки лежат на ней.

Возьмём \(O\) за начало координат и обозначим радиус-векторы вершин через \(\vec a,\vec b,\vec c\). Для точки \(H\) с радиус-вектором \(\vec h=\vec a+\vec b+\vec c\) имеем \(AH\perp BC\), потому что \((\vec h-\vec a)\cdot(\vec b-\vec c)=(\vec b+\vec c)\cdot(\vec b-\vec c)=|\vec b|^2-|\vec c|^2=0\). Аналогично проходят две другие высоты, значит это ортоцентр.

Центр масс имеет радиус-вектор \(\vec g=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}=\frac{\vec h}{3}\). Следовательно, \(O,G,H\) коллинеарны и \(OG:GH=1:2\).

Пусть \(N\) — середина \(OH\). Гомотетия с центром \(H\) и коэффициентом \(\frac12\) переводит \(A,B,C\) в середины \(AH,BH,CH\). При этом описанная окружность треугольника \(ABC\) с центром \(O\) и радиусом \(R\) переходит в окружность с центром \(N\) и радиусом \(\frac R2\).

Значит, указанные три середины лежат на этой окружности. В полном варианте те же рассуждения вместе с прямыми углами показывают, что на ней лежат также середины сторон и основания высот.

Обозначим центры правильных треугольников, построенных на \(BC,CA,AB\), через \(X,Y,Z\). Поворот на \(60^\circ\), переводящий одну сторону построенного правильного треугольника в другую, переводит соответствующий отрезок между центрами в следующий такой отрезок.

Из равенства поворотов следует, что \(XY=YZ=ZX\), а угол между соседними отрезками равен \(60^\circ\). Следовательно, \(XYZ\) — правильный треугольник.

Рассмотрим поворот на \(60^\circ\), переводящий \(B\) в \(C\) вокруг вершины \(X\). При этом прямая, соединяющая вершину исходного треугольника с вершиной построенного правильного треугольника, переходит в соответствующую прямую второй конструкции.

Точка пересечения этих двух прямых поэтому видит две стороны под углом \(120^\circ\). Повторяя тот же аргумент циклически, получаем три равенства \(\angle ATB=\angle BTC=\angle CTA=120^\circ\).

Для произвольной чевианы \(AX\) по теореме синусов в треугольниках \(ABX\) и \(ACX\) имеем \(\frac{BX}{CX}=\frac{AB\sin\angle BAX}{AC\sin\angle XAC}\).

Для медианы \(AM\) отношение равно \(1\), значит \(\frac{\sin\angle BAM}{\sin\angle MAC}=\frac{AC}{AB}\). Так как \(AS\) изогональна \(AM\), то \(\angle BAS=\angle MAC\), \(\angle SAC=\angle BAM\). Поэтому \(\frac{BS}{CS}=\frac{AB\sin\angle MAC}{AC\sin\angle BAM}=\frac{AB^2}{AC^2}\).

По теореме о касательной и хорде \(\angle PBA=\angle ACB\) и \(\angle PCA=\angle ABC\). Поэтому прямая \(AP\) является изогональю медианного направления, которое даёт равенство отношений на стороне \(BC\).

Иначе можно провести \(AP\cap BC=S\). Из подобия треугольников, получающихся по касательным углам, следует \(\frac{BS}{CS}=\frac{AB^2}{AC^2}\). По критерию из предыдущего примера \(AS\) является симедианой.

Отразим прямые \(AP,BP,CP\) относительно соответствующих биссектрис. Полученные три прямые пересекаются в точке \(Q\), потому что изогональное сопряжение сохраняет условие тригонометрической Чевы.

Равенства углов для \(P\) после отражения переходят в равенства \(\angle BAQ=\angle ACQ=\angle CBQ\). Значит, \(Q\) — вторая точка Брокара.

Точка Лемуана управляет симедианами и отношениями квадратов сторон, а точки Брокара возникают как центры поворотных гомотетий между фигурами, построенными на сторонах. Окружность с диаметром \(OK\) появляется как окружность подобия трёх сторон треугольника.

В полном доказательстве берут три подобные фигуры, построенные на сторонах \(BC,CA,AB\). Их соответствующие прямые, проходящие через точку Брокара, пересекаются в одной точке окружности подобия. Поскольку эта окружность имеет диаметр \(OK\), обе точки Брокара лежат на ней.

Площади треугольников \(ABD\) и \(ACD\) имеют высоты к одной прямой \(BC\), поэтому \(\frac{BD}{DC}=\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}\).

С другой стороны, \(S_{ABD}=\frac12 AB\cdot AD\sin\angle BAD\), \(S_{ACD}=\frac12 AC\cdot AD\sin\angle CAD\). Деление этих формул даёт требуемое отношение.

По предыдущему примеру \(\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{AB\sin\angle BAA_1}{AC\sin\angle CAA_1}\). Аналогично записываем отношения для двух других сторон.

Обычная теорема Чевы требует, чтобы произведение \(\frac{BA_1}{CA_1}\cdot\frac{CB_1}{AB_1}\cdot\frac{AC_1}{BC_1}\) было равно \(1\). При перемножении стороновые множители \(AB,BC,CA\) сокращаются, и остаётся ровно тригонометрическое условие.

По формуле чевианы \(\frac{BX}{CX}=\frac{AB\sin\angle BAX}{AC\sin\angle XAC}\). Для \(Y\) получаем \(\frac{BY}{CY}=\frac{AB\sin\angle BAY}{AC\sin\angle YAC}\).

Так как \(AX\) и \(AY\) изогональны, \(\angle BAX=\angle YAC\), \(\angle XAC=\angle BAY\). После перемножения синусы сокращаются, и остаётся \(\frac{AB^2}{AC^2}\).

Обычная теорема Менелая в ориентированных отрезках даёт \(\frac{BA_1}{CA_1}\cdot\frac{CB_1}{AB_1}\cdot\frac{AC_1}{BC_1}=-1\).

Каждое отношение выражается через синусы углов соответствующей прямой с двумя сторонами треугольника. После сокращения сторон получаем произведение трёх синусных отношений; с ориентированными углами оно равно \(-1\), а в неориентированной форме проверяется равенство модулей.

Пусть \(AM\) — медиана, изогональная \(AS\). Для медианы \(\frac{BM}{CM}=1\), значит \(\frac{AB\sin\angle BAM}{AC\sin\angle MAC}=1\).

Так как \(AS\) изогональна \(AM\), то \(\angle BAS=\angle MAC\), \(\angle SAC=\angle BAM\). Подставляя в формулу чевианы, получаем \(\frac{BS}{CS}=\frac{AB^2}{AC^2}\).

Пусть соответствующая вершина на стороне \(BC\) равна \(A_1\). Тогда углы \(\angle BAA_1\) и \(\angle CAA_1\) выражаются через \(B,C,\varphi\). Аналогично для двух других чевиан.

После подстановки в trig Ceva получается произведение вида \(\frac{\sin(B+\varphi)}{\sin(C+\varphi)}\cdot\frac{\sin(C+\varphi)}{\sin(A+\varphi)}\cdot\frac{\sin(A+\varphi)}{\sin(B+\varphi)}=1\). Значит, три прямые конкурентны.

По trig Ceva достаточно проверить \(\frac{\sin10^\circ}{\sin70^\circ}\cdot\frac{\sin30^\circ}{\sin20^\circ}\cdot\frac{\sin40^\circ}{\sin10^\circ}=1\).

После сокращения \(\sin10^\circ\) остаётся \(\sin30^\circ\sin40^\circ=\sin20^\circ\sin70^\circ\). Это верно, потому что \(\sin30^\circ=\frac12\), а \(\sin70^\circ=\cos20^\circ\), значит правая часть равна \(\sin20^\circ\cos20^\circ=\frac12\sin40^\circ\).

Известно, что \(AH=2R\cos A\), а высота \(AA_h=2R\sin B\sin C\). Если линия Эйлера параллельна \(BC\), то точка \(G\) делит медиану в отношении \(2:1\), и проекция условия на высоту из \(A\) даёт \(AH:AA_h=2:3\).

Следовательно, \(\frac{2R\cos A}{2R\sin B\sin C}=\frac23\), то есть \(3\cos A=2\sin B\sin C\). Подставляя \(\cos A=\sin B\sin C-\cos B\cos C\), получаем \(\sin B\sin C=3\cos B\cos C\), или \(\tan B\tan C=3\).