#8 Полные четырёхугольники и точки Микеля

По обратному признаку вписанных углов равные углы, опирающиеся на один отрезок \(AB\), означают, что вершины этих углов лежат на одной окружности с \(A\) и \(B\). Значит, \(A,B,X,Y\) цикличны.

Обозначим \(A=l_1\cap l_2\), \(B=l_2\cap l_3\), \(C=l_3\cap l_4\), \(D=l_4\cap l_1\), \(E=l_1\cap l_3\), \(F=l_2\cap l_4\). Четыре треугольника: \(ABE\), \(BCF\), \(CDE\), \(ADF\).

Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду \(BE\), равны. Поэтому \(\angle BME=\angle BAE\).

Углы \(\angle BMF\) и \(\angle BCF\) опираются на один отрезок \(BF\). Их равенство означает, что точки \(M\) и \(C\) лежат на одной окружности с \(B\) и \(F\). Значит, \(B,C,F,M\) цикличны.

Это окружности \((ABE)\), \((ADF)\), \((CDE)\), \((BCF)\). По теореме Микеля они имеют одну общую точку.

Тройки этих прямых дают окружности \((ABF)\), \((BCE)\), \((CDF)\), \((DAE)\). Они проходят через точку Микеля полного четырёхугольника сторон.

Имеем \(\angle BMF=\angle BMA+\angle AMF\). Из \(A,B,E,M\) цикличны: \(\angle BMA=\angle BEA\), угол между \(l_3\) и \(l_1\). Из \(A,D,F,M\) цикличны: \(\angle AMF=\angle ADF\), угол между \(l_1\) и \(l_4\). Сумма равна углу между \(l_3\) и \(l_4\), то есть \(\angle BCF\). Поэтому \(B,C,F,M\) цикличны.

?? ?????????? ?????? ??? ????????, ??? \(M\in (BCF)\). ????? \(\angle CMB=\angle CFB\), ?? ???? ??? ???? ????? ??????? \(l_4\) ? \(l_2\). ????? ????, ?? \(M\in (ABE)\) ???????? \(\angle BME=\angle BAE\), ?? ???? ???? ????? \(l_2\) ? \(l_1\). ??????? \(\angle CME=\angle CMB+\angle BME\) ????? ???? ????? \(l_4\) ? \(l_1\), ?? ???? \(\angle CDE\). ?? ????????? ???????? ????????? ????? ????? \(C,D,E,M\) ????? ?? ????? ??????????.

Пусть \(M\) - второе пересечение \((ABE)\) и \((ADF)\). По задачам 7 и 8 точка \(M\) лежит также на \((BCF)\) и \((CDE)\). Значит, все четыре окружности проходят через \(M\).

Четыре прямые \(AB,BC,CD,DA\) образуют полный четырёхугольник. Его четыре окружности как раз \((ABF)\), \((BCE)\), \((CDF)\), \((DAE)\). По теореме Микеля они проходят через одну точку.

По определению точки Микеля \(M\in (BCF)\). Тогда \(B,C,F,M\) лежат на одной окружности, а углы \(\angle BMF\) и \(\angle BCF\) опираются на хорду \(BF\). Поэтому они равны.

Так как \(A,B,E,M\) цикличны, \(\angle BME=\angle BAE\). Так как \(A,D,F,M\) цикличны, \(\angle DMF=\angle DAF\). Углы \(\angle BAE\) и \(\angle DAF\) являются одним углом между прямыми \(l_2\) и \(l_1\). Следовательно, \(\angle BME=\angle DMF\).

Если сумма противоположных углов четырёхугольника \(AXBY\) равна \(180^\circ\), то четырёхугольник циклический. Следовательно, точки \(A,X,B,Y\) лежат на одной окружности.

Прямые \(AB,BC,CD,DA\) образуют полный четырёхугольник. Две его окружности \((ABF)\) и \((BCE)\) пересекаются второй раз в \(M\). По теореме Микеля эта же точка лежит на двух остальных окружностях полного четырёхугольника: \((CDF)\) и \((DAE)\).

По теореме Микеля точка \(M_1\), построенная как второе пересечение \((ABE)\) и \((ADF)\), лежит также на \((BCF)\) и \((CDE)\). Поэтому она является общей точкой этих двух окружностей, отличной от их уже известной общей точки \(C\). Следовательно, это и есть \(M_2\).

Углы \(\angle BXF\) и \(\angle BMF\) опираются на отрезок \(BF\). По обратному признаку вписанных углов точки \(X\) и \(M\) лежат на одной окружности с \(B\) и \(F\). Значит, \(B,F,M,X\) цикличны.

Так как \(M\in (BCF)\), углы \(\angle BMF\) и \(\angle BCF\) опираются на хорду \(BF\), значит, равны. Так как \(M\in (DAE)\), углы \(\angle DME\) и \(\angle DAE\) опираются на хорду \(DE\), значит, тоже равны.

Так как \(A,B,E,M\) цикличны, \(\angle BME=\angle BAE\). Так как \(A,D,F,M\) цикличны, \(\angle DMF=\angle DAF\). Оба правых угла являются углом между прямыми \(l_2\) и \(l_1\), поэтому \(\angle BME=\angle DMF\).

Например, строим окружности \((ABE)\) и \((ADF)\). Они имеют общую точку \(A\). Их второе пересечение \(M\) и есть точка Микеля. По теореме Микеля эта точка автоматически лежит на \((BCF)\) и \((CDE)\).

Из \(A,B,E,M\) цикличны имеем \(\angle BMA=\angle BEA\). Из \(A,D,F,M\) цикличны имеем \(\angle AMF=\angle ADF\). Сумма этих углов равна углу между \(l_3\) и \(l_4\), то есть \(\angle BCF\). Следовательно, \(\angle BMF=\angle BCF\), а значит, \(B,C,F,M\) цикличны.

Так как \(M\) лежит на \((ABE)\) и \((ADF)\), по угловому доказательству теоремы Микеля точка \(M\) должна лежать на \((CDE)\). Можно записать напрямую: \(\angle CME\) раскладывается в сумму углов, равную \(\angle CDE\). По обратному признаку вписанных углов \(C,D,E,M\) цикличны.

?????? \(AB,BC,CD,DA\) ???????? ?????? ???????????????. ????? \(M\) ????? ?? ??????????? \((ABF)\) ? \((BCE)\), ?????? ?? ??????? ?????? ??? ????? ????? ?? ?????????? \((CDF)\). ? ?????????? \((CDFM)\) ???? \(\angle DMC\) ? \(\angle DFC\) ????????? ?? ???? ????? \(DC\), ??????? ??? ?????.

??? ??? \(A,B,E,M\) ????????, \(\angle BME=\angle BAE\). ??? ??? \(A,D,F,M\) ????????, \(\angle DMF=\angle DAF\). ???? \(\angle BAE\) ? \(\angle DAF\) ???????? ????? ? ??? ?? ????? ????? ??????? \(l_2\) ? \(l_1\), ?????? \(\angle BME=\angle DMF\). ????? ????, \(C,D,E,M\) ????????; ???? \(\angle CME\) ? \(\angle CDE\) ????????? ?? ????? \(CE\), ??????? ??? ?????.

Обозначим точки пересечения как \(A,B,C,D,E,F\). Четыре окружности обязательно имеют вид \((ABE)\), \((ADF)\), \((BCF)\), \((CDE)\). Если три из них проходят через \(M\), то, выбрав две окружности с общей вершиной, мы получаем \(M\) как точку Микеля полного четырёхугольника. По теореме Микеля \(M\) лежит и на четвёртой окружности.