Теория курса
Алгебра. Книга 1
Book 1. Foundations of Olympiad Algebra
- 1. Алгебраические выражения и тождества
- 2. Методы разложения на множители
- 3. Уравнения и системы
- 4. Многочлены I
- 5. Последовательности и рекурсии
- 6. Алгебраические преобразования в задачах
- 7. Вводные неравенства
- 8. Вводные функциональные уравнения
- 9. Алгебраические задачи с целыми числами
- 10. Смешанные задачи по алгебре I
- 11. Стратегические заметки
- 12. Пробные олимпиады I
Глава
Алгебраические выражения и тождества
Ключевая идея
Олимпиадная алгебра начинается не с механического “раскрыть скобки”, а с умения увидеть форму выражения. Хорошее преобразование уменьшает хаос: оно выделяет общий множитель, разность квадратов, сумму кубов, симметрию или замену переменных.
В этом модуле выражение надо читать как конструкцию: какие части повторяются, что похоже на квадрат, где спрятана разность, можно ли заменить \(x+y\) и \(xy\), есть ли условие вроде \(a+b+c=0\).
Основные факты
Базовые тождества: \[ a^2-b^2=(a-b)(a+b), \] \[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2), \] \[ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2). \]
Также полезны: \[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, \] \[ a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca). \]
Когда применять метод
Применяйте тождества, когда нужно доказать делимость, разложить выражение, показать, что число составное, решить систему через \(x+y\) и \(xy\), доказать неотрицательность или заменить длинное выражение коротким.
Как распознать метод
Разность двух похожих квадратов почти всегда просит \(u^2-v^2\). Кубы с разными знаками просят сумму или разность кубов. Симметрическое выражение от двух переменных часто зависит только от \(s=x+y\) и \(p=xy\). Условие \(a+b+c=0\) почти всегда означает, что \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
Типичные ошибки
Не раскрывайте всё подряд: после полного раскрытия структура часто исчезает. Не путайте \(a^3+b^3\) с \((a+b)^3\). Не забывайте проверять случай, когда общий множитель может быть нулём. В задачах с целыми числами после разложения надо проверить, что оба множителя действительно больше \(1\), если доказывается составность.
Мини-чеклист
1. Есть ли разность квадратов? 2. Есть ли сумма или разность кубов? 3. Можно ли сгруппировать слагаемые попарно? 4. Выражение симметрично? 5. Подходит ли замена \(s=x+y\), \(p=xy\)? 6. Можно ли доказать нужное через произведение множителей?
Пример 1. Разность квадратов в скрытом виде
Учимся сначала искать два квадрата, а уже потом раскрывать скобки.
Задача. Разложите \( (x^2+3x+1)^2-(x^2+x+1)^2 \).
Это разность квадратов: \(U^2-V^2=(U-V)(U+V)\), где \(U=x^2+3x+1\), \(V=x^2+x+1\).
Получаем \(U-V=2x\), \(U+V=2x^2+4x+2=2(x+1)^2\). Значит, выражение равно \(4x(x+1)^2\).
Комментарий. Полное раскрытие здесь длиннее и хуже показывает структуру.
Пример 2. Кубы и делимость
Сумма и разность кубов часто используются не ради факторизации самой по себе, а ради делимости.
Задача. Докажите, что если \(a-b\) делит \(a+b\), то \(a-b\) делит \(a^3-b^3\).
По формуле разности кубов \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\). Поэтому \(a^3-b^3\) делится на \(a-b\) при любых целых \(a,b\), если \(a\ne b\).
Условие про \(a+b\) здесь лишнее: важно заметить правильный множитель.
Комментарий. В олимпиадной задаче иногда есть лишняя информация; её не нужно использовать насильно.
Пример 3. Группировка
Если выражение не похоже на одну формулу, попробуйте сгруппировать его так, чтобы появились одинаковые множители.
Задача. Разложите \(x^3+x^2y-xy^2-y^3\).
Сгруппируем первые два и последние два слагаемых: \[ x^3+x^2y-xy^2-y^3=x^2(x+y)-y^2(x+y). \] Выносим общий множитель \(x+y\):
\((x+y)(x^2-y^2)=(x+y)(x-y)(x+y)=(x-y)(x+y)^2\).
Комментарий. Группировка часто создаёт разность квадратов.
Пример 4. Симметрическая замена
В двух переменных симметрия часто означает замену \(s=x+y\), \(p=xy\).
Задача. Выразите \(x^2+y^2\) и \(x^3+y^3\) через \(s=x+y\) и \(p=xy\).
Имеем \(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=s^2-2p\).
Далее \(x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=s((x^2+y^2)-p)=s(s^2-3p)\).
Комментарий. Такая замена нужна для систем и уравнений с симметрией.
Пример 5. Условие \(a+b+c=0\)
Это одно из самых полезных условий в олимпиадной алгебре.
Задача. Докажите, что если \(a+b+c=0\), то \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
Используем тождество: \[ a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca). \] Если \(a+b+c=0\), правая часть равна нулю.
Значит, \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\), то есть \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
Комментарий. Это тождество лучше помнить как инструмент, а не как отдельный факт.
Пример 6. Составность через разложение
Разложение помогает доказывать, что выражение не может быть простым.
Задача. Докажите, что при целом \(n>1\) число \(n^4+4\) составное.
Используем приём Софи Жермен: \[ n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2. \] Значит, \[ n^4+4=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2). \]
При \(n>1\) оба множителя больше \(1\), значит число составное.
Комментарий. Важно не забыть проверить размеры множителей.
Пример 7. Неотрицательность как сумма квадратов
Даже в модуле тождеств полезно видеть, когда выражение является суммой квадратов.
Задача. Докажите, что \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge 0\) для всех действительных \(a,b,c\).
Умножим выражение на \(2\): \[ 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2. \] Правая часть неотрицательна.
Значит, исходное выражение тоже неотрицательно. Равенство возможно только при \(a=b=c\).
Комментарий. Эта форма часто появляется рядом с \(a^3+b^3+c^3-3abc\).
Пример 8. Система через сумму и произведение
Симметрическую систему не надо решать напрямую.
Задача. Найдите все действительные \(x,y\), если \(x+y=5\), \(x^2+y^2=13\).
Из \(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\) получаем \(13=25-2xy\), значит \(xy=6\).
Теперь \(x\) и \(y\) — корни уравнения \(t^2-5t+6=0\). Отсюда \(t=2\) или \(t=3\). Поэтому \((x,y)=(2,3)\) или \((3,2)\).
Комментарий. Это первый шаг к олимпиадным симметрическим системам.
Глава
Методы разложения на множители
Ключевая идея
Разложение на множители в олимпиадной алгебре — это не только способ упростить выражение. Это способ увидеть скрытые причины делимости, составности, равенства нулю или невозможности.
Главный вопрос модуля: какой множитель должен появиться и почему?
Основные факты
Чаще всего используются общий множитель, группировка, квадратный трёхчлен, разность квадратов, сумма и разность кубов, а также тождество
\[a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).\]
Для многочленов важно помнить: если \(P(r)=0\), то \(x-r\) является множителем \(P(x)\).
Когда применять метод
Разложение полезно, когда нужно доказать делимость, найти целые решения, показать составность числа, решить уравнение с произведением или выделить неотрицательный множитель.
В задачах с параметрами сначала ищут значение параметра, при котором появляется нужный корень или общий множитель.
Как распознать метод
Ищите повторяющиеся блоки, выражения вида \(U^2-V^2\), однородность, симметрию, зануление при \(a=b\), \(b=c\), \(x=r\). Если выражение обращается в ноль при простой подстановке, это часто означает скрытый линейный множитель.
Типичные ошибки
Не надо сразу раскрывать все скобки: можно потерять структуру. Нельзя забывать проверять, что найденные множители действительно больше \(1\), если доказывается составность. В задачах с целыми решениями важно учитывать знаки и чётность пар множителей.
Мини-чеклист
Перед вычислениями спросите себя: есть ли общий множитель? можно ли сгруппировать? видна ли разность квадратов или кубов? есть ли корень многочлена? однородно ли выражение? что происходит при равных переменных?
Пример 1. Общий множитель и трёхчлен
Даже простой общий множитель часто открывает следующую формулу.
Задача. Разложите \(6x^3y-9x^2y^2+3xy^3\).
Сначала выносим \(3xy\):
\[6x^3y-9x^2y^2+3xy^3=3xy(2x^2-3xy+y^2).\]
Теперь \(2x^2-3xy+y^2=(2x-y)(x-y)\). Поэтому ответ: \(3xy(2x-y)(x-y)\).
Комментарий. Метод состоит из двух шагов: общий множитель, затем разложение квадратного трёхчлена.
Пример 2. Группировка
Если общий множитель не виден сразу, его можно создать группировкой.
Задача. Разложите \(ab+ac+bd+cd\).
Группируем:
\[ab+ac+bd+cd=a(b+c)+d(b+c).\]
Теперь выносим общий множитель \(b+c\): получаем \((a+d)(b+c)\).
Комментарий. Хорошая группировка делает выражение короче, а не длиннее.
Пример 3. Квадратный трёхчлен с параметрами
Формула для корней иногда видна без дискриминанта.
Задача. Разложите \(x^2-(p+q)x+pq\).
Ищем два числа с суммой \(p+q\) и произведением \(pq\). Это \(p\) и \(q\).
Следовательно, \(x^2-(p+q)x+pq=(x-p)(x-q)\).
Комментарий. Такой вид часто возникает после замены или применения формул Виета.
Пример 4. Теорема о корне
Если известен корень многочлена, можно сразу найти линейный множитель.
Задача. Найдите \(k\), если \(x^3+kx^2-5x-2k\) делится на \(x-2\), и разложите многочлен при этом \(k\).
Пусть \(P(x)=x^3+kx^2-5x-2k\). Делимость на \(x-2\) означает \(P(2)=0\).
\[P(2)=8+4k-10-2k=2k-2.\]
Значит, \(k=1\). Тогда \(P(x)=x^3+x^2-5x-2=(x-2)(x^2+3x+1)\).
Комментарий. Мы не угадывали разложение: сначала заставили появиться нужный множитель.
Пример 5. Приём Софи Жермен
Иногда разность квадратов нужно создать искусственно.
Задача. Разложите \(x^4+4y^4\).
Добавим и вычтем \(4x^2y^2\):
\[x^4+4y^4=(x^2+2y^2)^2-(2xy)^2.\]
Получаем
\[x^4+4y^4=(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2).\]
Комментарий. Это один из главных олимпиадных примеров скрытой факторизации.
Пример 6. Кубическое тождество
Симметрическое выражение из трёх переменных часто раскладывается неочевидно.
Задача. Разложите \(a^3+b^3+c^3-3abc\).
Используем тождество:
\[a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).\]
Проверить его можно раскрытием скобок. В задачах важнее помнить, что первый множитель — \(a+b+c\).
Комментарий. Когда \(a+b+c=0\), это тождество сразу даёт \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
Пример 7. Однородное выражение
Однородность подсказывает искать множители одинаковой степени.
Задача. Разложите \(a^4+a^2b^2+b^4\).
Добавим и вычтем \(a^2b^2\):
\[a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+b^2)^2-a^2b^2.\]
Это разность квадратов:
\[(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2).\]
Комментарий. Не каждое выражение четвёртой степени надо раскрывать как общий квадрат.
Пример 8. Составность после сдвига
Разложение помогает не только факторизовать, но и решать вопрос о простоте.
Задача. Найдите все целые \(n\), при которых \((n+1)^4+4\) является простым числом.
Положим \(m=n+1\). Тогда нужно понять, когда \(m^4+4\) просто.
По приёму Софи Жермен \(m^4+4=(m^2-2m+2)(m^2+2m+2)\).
Если \(|m|>1\), оба множителя по модулю дают нетривиальное разложение. При \(m=0\) число равно \(4\), не простое. При \(m=1\) и \(m=-1\) получаем \(5\). Значит, \(n=0\) или \(n=-2\).
Комментарий. Сдвиг переменной не меняет идею, но прячет знакомую структуру.
Глава
Уравнения и системы
Ключевая идея
В олимпиадных уравнениях и системах редко нужно просто применить формулу. Чаще нужно сначала выбрать правильные величины: сумму, произведение, разность, симметрические выражения или новую переменную.
Хорошее решение уменьшает число неизвестных или превращает систему в одно уравнение.
Основные факты
Для квадратного уравнения \(x^2-Sx+P=0\) числа \(S\) и \(P\) являются суммой и произведением корней. В симметрических системах часто вводят \(s=x+y\), \(p=xy\), а для трёх переменных — \(x+y+z\), \(xy+yz+zx\), \(xyz\).
Полезны тождества \(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\) и \(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\).
Когда применять метод
Используйте замены, когда выражения повторяются, когда система симметрична, когда есть \(x+\frac1x\), \(x^2+y^2\), \(x^3+y^3\), или когда прямое решение даёт громоздкие вычисления.
В задачах с целыми числами после преобразования часто появляется разложение на множители.
Как распознать метод
Если условия не меняются при перестановке \(x\) и \(y\), ищите \(x+y\) и \(xy\). Если встречаются степени одной величины, попробуйте заменить \(u=x^2\) или \(u=x+\frac1x\). Если есть параметр, сначала выясните, какое условие он должен обеспечить: корень, касание, единственность или целочисленность.
Типичные ошибки
Нельзя терять решения при возведении в квадрат, делении на выражение, которое может быть нулём, или при замене \(u=x^2\). После замены нужно вернуться к исходным переменным и проверить ограничения.
Мини-чеклист
Определите тип: квадратное уравнение, симметрическая система, замена, параметр или целые решения. Проверьте область допустимых значений. Сократите число неизвестных. Решите новую задачу. Вернитесь к исходным переменным и проверьте ответы.
Пример 1. Квадратное уравнение через сумму и произведение
Базовый приём: не раскрывать лишнее, а увидеть сумму и произведение.
Задача. Решите \(x^2-7x+12=0\).
Нужны два числа с суммой \(7\) и произведением \(12\). Это \(3\) и \(4\).
Поэтому \(x^2-7x+12=(x-3)(x-4)\), откуда \(x=3\) или \(x=4\).
Комментарий. Такой взгляд понадобится в симметрических системах.
Пример 2. Биквадратное уравнение
Если встречаются только чётные степени, замените \(x^2\).
Задача. Решите \(x^4-5x^2+4=0\).
Положим \(u=x^2\), где \(u\ge0\). Получаем \(u^2-5u+4=0\), то есть \((u-1)(u-4)=0\).
Значит, \(u=1\) или \(u=4\). Поэтому \(x=\pm1\) или \(x=\pm2\).
Комментарий. Ограничение \(u\ge0\) обязательно проверяется.
Пример 3. Симметрическая система
Система в двух переменных часто решается через сумму и произведение.
Задача. Найдите \(x,y\), если \(x+y=6\), \(x^2+y^2=20\).
Из \(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\) получаем \(20=36-2xy\), значит \(xy=8\).
Тогда \(x,y\) — корни \(t^2-6t+8=0\). Отсюда \(t=2\) или \(t=4\). Ответ: \((2,4)\), \((4,2)\).
Комментарий. Мы восстановили пару как корни квадратного уравнения.
Пример 4. Сумма кубов в системе
Кубы не надо раскрывать по отдельности.
Задача. Найдите \(x,y\), если \(x+y=5\), \(x^3+y^3=35\).
Пусть \(p=xy\). Тогда \(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=125-15p\).
Имеем \(125-15p=35\), значит \(p=6\). Теперь \(x,y\) — корни \(t^2-5t+6=0\), откуда \((x,y)=(2,3)\) или \((3,2)\).
Комментарий. Один параметр \(p=xy\) заменяет длинное раскрытие.
Пример 5. Обратная замена
Выражения вида x+1/x ведут себя как новая переменная.
Задача. Если \(x+\frac1x=4\), найдите \(x^2+\frac1{x^2}\).
Возводим в квадрат:
\[\left(x+\frac1x\right)^2=x^2+2+\frac1{x^2}=16.\]
Значит, \(x^2+\frac1{x^2}=14\).
Комментарий. Проверка \(x e0\) уже содержится в исходном выражении.
Пример 6. Параметр как условие корня
Параметр часто выбирается так, чтобы появился заданный корень.
Задача. Найдите \(a\), если \(x=2\) является корнем уравнения \(x^2-ax+6=0\).
Подставляем \(x=2\): \(4-2a+6=0\).
Получаем \(10-2a=0\), значит \(a=5\). Тогда уравнение \(x^2-5x+6=0\).
Комментарий. Не нужно сначала решать уравнение в общем виде.
Пример 7. Целые решения через разложение
После преобразования уравнение в целых часто становится произведением.
Задача. Найдите целые \(x,y\), если \(x^2-y^2=16\).
\((x-y)(x+y)=16\). Множители \(x-y\) и \(x+y\) имеют одинаковую чётность.
Подходящие пары: \((2,8)\), \((4,4)\), \((-2,-8)\), \((-4,-4)\), \((8,2)\), \((-8,-2)\). Решая \(x-y=u\), \(x+y=v\), получаем все целые пары: \((5,3)\), \((4,0)\), \((-5,-3)\), \((-4,0)\), \((5,-3)\), \((-5,3)\).
Комментарий. Чётность факторных пар нельзя пропускать.
Пример 8. Система с одинаковой структурой
Иногда решение скрыто в вычитании уравнений.
Задача. Решите систему \(x^2+y=6\), \(y^2+x=6\).
Вычтем второе уравнение из первого:
\[x^2-y^2+y-x=0.\]
Получаем \((x-y)(x+y-1)=0\). Если \(x=y\), то \(x^2+x=6\), значит \(x=2\) или \(x=-3\). Если \(x+y=1\), подставим \(y=1-x\): \(x^2+1-x=6\), то есть \(x^2-x-5=0\). Отсюда \(x=\frac{1\pm\sqrt{21}}2\), \(y=\frac{1\mp\sqrt{21}}2\).
Комментарий. Вычитание системы создало факторизацию.
Глава
Многочлены I
Ключевая идея
Многочлен удобно изучать не только через коэффициенты, но и через значения в точках. Корень, остаток, совпадение значений и сравнение коэффициентов часто дают короткий путь к решению.
Основные факты
Если \(P(a)=0\), то \(x-a\) делит \(P(x)\). При делении \(P(x)\) на \(x-a\) остаток равен \(P(a)\). Если два многочлена степени не выше \(n\) совпадают в \(n+1\) различных точках, то они тождественно равны.
Когда применять метод
Используйте язык многочленов, когда даны значения в нескольких точках, общие корни, параметры в коэффициентах, целые коэффициенты или утверждения вида \(P(a)-P(b)\). Многочлены особенно хороши для задач, где прямое раскрытие выглядит громоздким.
Как распознать метод
Слова “корень”, “имеет общий корень”, “значения совпадают”, “для всех \(x\)” и “при целых \(a,b\)” почти всегда намекают на теорему Безу, сравнение коэффициентов или лемму о делимости \(P(a)-P(b)\) на \(a-b\).
Типичные ошибки
Нельзя считать, что два многочлена равны, если они совпали только в одной точке. Нельзя забывать про степень разности многочленов. В задачах с целыми коэффициентами важно использовать целочисленность значений и делимость разностей.
Мини-чеклист
Найдите степень. Посмотрите на корни. Проверьте значения в специальных точках. Рассмотрите разность двух многочленов. Если значений много, сравните число корней разности с её степенью. Если коэффициенты целые, используйте делимость \(P(a)-P(b)\).
Пример 1. Теорема о корне
Корень сразу даёт линейный множитель.
Задача. Разложите \(P(x)=x^3-4x^2+x+6\), если известно, что \(P(2)=0\).
Так как \(P(2)=0\), многочлен делится на \(x-2\). Деление даёт \(P(x)=(x-2)(x^2-2x-3)=(x-2)(x-3)(x+1)\).
Комментарий. Не нужно угадывать все корни сразу.
Пример 2. Остаток
Значение в точке заменяет деление с остатком.
Задача. Найдите остаток от деления \(2x^4-x+5\) на \(x-2\).
Остаток равен \(P(2)=2\cdot16-2+5=35\).
Комментарий. Это простейшая форма теоремы об остатке.
Пример 3. Сравнение коэффициентов
Тождество многочленов означает равенство коэффициентов.
Задача. Найдите \(a,b\), если \(x^2+ax+b=(x-3)(x+5)\).
Правая часть равна \(x^2+2x-15\). Значит, \(a=2\), \(b=-15\).
Комментарий. Иногда сравнение коэффициентов короче подстановок.
Пример 4. Разность многочленов
Если два квадратных многочлена совпали в трёх точках, они совпадают всюду.
Задача. Квадратные многочлены \(P\) и \(Q\) имеют одинаковые значения при \(x=0,1,2\). Докажите, что \(P(x)=Q(x)\) для всех \(x\).
Многочлен \(R(x)=P(x)-Q(x)\) имеет степень не выше \(2\) и три корня: \(0,1,2\). Такой многочлен тождественно равен нулю. Значит, \(P=Q\).
Комментарий. Это один из главных приёмов модуля.
Пример 5. Делимость значений
У многочлена с целыми коэффициентами разность значений делится на разность аргументов.
Задача. Докажите, что если \(P(x)\) имеет целые коэффициенты, то \(P(10)-P(4)\) делится на \(6\).
Для каждого \(k\) число \(10^k-4^k\) делится на \(10-4=6\). Поэтому каждая разность соответствующих одночленов делится на \(6\), а значит и \(P(10)-P(4)\) делится на \(6\).
Комментарий. Эта лемма часто появляется в олимпиадных задачах.
Пример 6. Общий корень
Общий корень двух многочленов можно найти через их разность.
Задача. Многочлены \(x^2+ax+b\) и \(x^2+bx+a\) имеют общий корень, причём \(a\ne b\). Найдите этот корень.
Пусть общий корень равен \(r\). Вычтем значения: \(0=(r^2+ar+b)-(r^2+br+a)=(a-b)(r-1)\). Так как \(a\ne b\), получаем \(r=1\).
Комментарий. Разность убирает старшие члены.
Пример 7. Корни и дискриминант
Для приведённого квадратного трёхчлена дискриминант равен квадрату расстояния между корнями.
Задача. Пусть корни \(x^2+px+q\) равны \(u\) и \(v\). Докажите, что дискриминант равен \((u-v)^2\).
По Виету \(p=-(u+v)\), \(q=uv\). Тогда \(D=p^2-4q=(u+v)^2-4uv=(u-v)^2\).
Комментарий. Этот факт нужен для сравнения квадратных трёхчленов.
Пример 8. Подстановка в тождество
Иногда надо заменить \(x\) на \(-x\).
Задача. Если \(F(x)=(x-a)(x-b)(x-c)-t\) имеет корни \(u,v,w\), выразите \((x+u)(x+v)(x+w)\) через \(a,b,c,t\).
Так как \(F(x)=(x-u)(x-v)(x-w)\), подставим \(-x\): \((-x-a)(-x-b)(-x-c)-t=(-x-u)(-x-v)(-x-w)\). Умножая на \(-1\), получаем \((x+a)(x+b)(x+c)+t=(x+u)(x+v)(x+w)\).
Комментарий. Это подготовка к более сильным задачам на корни кубиков.
Глава
Последовательности и рекурсии
Ключевая идея
Последовательность в олимпиадной алгебре — это не просто список чисел. Нужно понять правило изменения: разности, отношения, рекурсию, инвариант или скрытую телескопическую сумму.
Основные факты
Для арифметической прогрессии \(a_n=a_1+(n-1)d\), \(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2\). Для геометрической прогрессии \(a_n=a_1q^{n-1}\), \(S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}\) при \(q\ne1\). Рекурсии часто решаются заменой или индукцией.
Когда применять метод
Ищите последовательности, когда есть повторяющийся процесс, переход от \(n\) к \(n+1\), сумма многих похожих дробей, максимальное число после шагов или условие “для любого \(n\)”.
Как распознать метод
Если соседние члены отличаются на постоянное число — это арифметическая прогрессия. Если отношение постоянно — геометрическая. Если выражение вида \(u_k-u_{k+1}\), сумма телескопируется. Если процесс сохраняет величину, ищите инвариант.
Типичные ошибки
Не путайте номер члена и сам член. Не забывайте базу индукции. В рекурсии с дробями проверяйте область допустимых значений. В задачах на подсчёт последовательностей сначала решите, что считается свободным выбором.
Мини-чеклист
Выпишите первые члены. Посмотрите на разности и отношения. Попробуйте заменить \(b_n=a_n+c\) или \(b_n=\frac1{a_n}\). Проверьте телескопирование. Сформулируйте индукционный переход.
Пример 1. Арифметическая прогрессия
Начинаем с явной формулы.
Задача. В прогрессии \(a_1=5\), \(d=3\). Найдите \(a_{20}\).
\(a_{20}=a_1+19d=5+57=62\).
Комментарий. Важно не заменить \(19\) на \(20\).
Пример 2. Сумма прогрессии
Сумма крайних членов одинаковых пар постоянна.
Задача. Найдите сумму \(7+10+13+\cdots+70\).
Это арифметическая прогрессия с \(a_1=7\), \(d=3\), \(a_n=70\). Тогда \(7+3(n-1)=70\), откуда \(n=22\). Сумма равна \(\frac{22(7+70)}2=847\).
Комментарий. Сначала найдите число членов.
Пример 3. Геометрическая прогрессия
Постоянное отношение даёт степень.
Задача. В прогрессии \(b_1=3\), \(q=2\). Найдите \(b_8\).
\(b_8=3\cdot2^7=384\).
Комментарий. Номер \(8\) даёт показатель \(7\).
Пример 4. Простая рекурсия
Иногда формула угадывается по первым членам и доказывается индукцией.
Задача. Последовательность задана \(a_1=1\), \(a_{n+1}=a_n+2n+1\). Докажите, что \(a_n=n^2\).
База: \(a_1=1=1^2\). Если \(a_n=n^2\), то \(a_{n+1}=n^2+2n+1=(n+1)^2\). Значит, формула верна для всех \(n\).
Комментарий. Разность соседних квадратов равна \(2n+1\).
Пример 5. Линейная рекурсия
Сдвиг часто превращает рекурсию в геометрическую.
Задача. Пусть \(a_1=1\), \(a_{n+1}=2a_n+1\). Найдите \(a_n\).
Добавим \(1\): \(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\). Поэтому \(a_n+1=2^n\), и \(a_n=2^n-1\).
Комментарий. Правильная замена убирает свободный член.
Пример 6. Телескопическая сумма
Сумма раскрывается после разложения дроби.
Задача. Найдите \(\sum_{k=1}^{n}\frac1{k(k+1)}\).
\(\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}\). Поэтому сумма равна \(1-\frac1{n+1}=\frac n{n+1}\).
Комментарий. Почти все слагаемые сокращаются.
Пример 7. Инвариант
В процессе может сохраняться не сам член, а комбинация членов.
Задача. Последовательность задана \(a_{n+1}=3a_n+2\), \(a_1=0\). Докажите, что \(a_n+1\) — степень \(3\).
\(a_{n+1}+1=3a_n+3=3(a_n+1)\). Так как \(a_1+1=1\), получаем \(a_n+1=3^{n-1}\).
Комментарий. Инвариантная форма — \(a_n+1\).
Пример 8. Подсчёт через разности
Иногда последовательность определяется началом и шагами.
Задача. Сколько последовательностей \(a_1,\ldots,a_5\) натуральных чисел имеют \(a_1=3\) и \(|a_{i+1}-a_i|\le1\), если все члены положительны?
Каждый шаг равен \(-1,0\) или \(1\), но нужно следить, чтобы член не стал нулём. Начиная с \(3\) за четыре шага при изменении не больше \(1\) вниз до нуля дойти нельзя. Значит, все \(3^4=81\) набора шагов подходят.
Комментарий. Разностная последовательность — основной объект.
Глава
Алгебраические преобразования в задачах
Ключевая идея
Алгебраическое преобразование полезно тогда, когда исходная запись скрывает более простую структуру: квадрат, сумму и произведение, однородность, симметрию или условие вроде \(a+b+c=0\). Цель не в том, чтобы «раскрыть всё», а в том, чтобы выбрать форму, в которой задача становится короче.
В олимпиадной задаче часто надо заменить набор переменных на несколько выражений: \(x+y\), \(xy\), \(a+b+c\), \(ab+bc+ca\), \(abc\), \(\frac{x}{y}\), \(x+\frac{1}{x}\). После такой замены исчезают лишние детали.
Основные факты
Квадрат часто выделяют так: \(x^2-2px=(x-p)^2-p^2\). Для двух переменных полезны формулы \(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\) и \(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\).
Для трёх переменных важны симметрические выражения. Если \(a+b+c=0\), то \(a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ca)\), \((a+b)(b+c)(c+a)=-abc\), а также \[a^3+b^3+c^3=3abc.\]
Если выражение однородно, можно нормировать одну величину: например, положить \(b=1\), \(a+b+c=1\) или \(x+y=1\), если это не меняет смысл задачи.
Когда применять метод
Метод подходит, когда в задаче есть симметрия, сумма переменных, отношение однородных выражений, выражения вида \(x+\frac{1}{x}\), \(x^2+y^2\), \(a^3+b^3+c^3\), или когда нужно доказать, что решений нет.
Ещё один сигнал: в условии много букв, но итог зависит только от одной-двух комбинаций. Тогда стоит уменьшить число переменных.
Как распознать метод
Сначала проверьте, сохраняется ли задача при умножении всех переменных на одно число. Если да, ищите нормировку. Затем посмотрите, входят ли переменные симметрично: тогда используйте суммы \(x+y\), \(xy\) или \(a+b+c\), \(ab+bc+ca\), \(abc\).
Если есть условие \(a+b+c=0\), почти всегда стоит заменить одну переменную: \(c=-a-b\), или сразу применить специальные тождества для нулевой суммы.
Типичные ошибки
Опасно раскрывать громоздкие скобки без плана: можно потерять структуру. Нельзя делить на выражение, не проверив, что оно не равно нулю. При нормировке важно убедиться, что выбранная величина действительно положительна или ненулевая.
В задачах с рациональностью нельзя из рациональности суммы сразу делать вывод о рациональности слагаемых. Обычно нужно найти дополнительное выражение, которое изолирует одно слагаемое.
Мини-чеклист
1. Есть ли квадрат, который надо выделить? 2. Можно ли заменить \(x+y\) и \(xy\)? 3. Однородна ли задача? 4. Есть ли условие нулевой суммы? 5. Не спрятана ли рациональность в обратных величинах или в сумме квадратов?
Пример 1. Выделение полного квадрата
Пример показывает, как увидеть минимум без производных.
Задача. Найдите наименьшее значение выражения \(x^2-6x+y^2+4y+15\).
Выделим квадраты: \(x^2-6x=(x-3)^2-9\), \(y^2+4y=(y+2)^2-4\). Тогда выражение равно \((x-3)^2+(y+2)^2+2\).
Сумма квадратов неотрицательна, поэтому минимум равен \(2\). Он достигается при \(x=3\), \(y=-2\).
Идея. Если выражение квадратичное и нужно найти минимум, сначала пробуйте выделить квадраты.
Пример 2. Условие нулевой суммы
Здесь важна специальная форма тождества для \(a+b+c=0\).
Задача. Докажите, что если \(a+b+c=0\), то \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
Из тождества \(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\) сразу следует результат, потому что первый множитель равен нулю.
Идея. Нулевая сумма превращает кубическую сумму в произведение.
Пример 3. Замена суммы и произведения
Стандартная техника для симметричных систем с двумя переменными.
Задача. Решите систему \(x+y=5\), \(x^2+y^2=13\).
Пусть \(s=x+y\), \(p=xy\). Тогда \(x^2+y^2=s^2-2p\), откуда \(13=25-2p\), значит \(p=6\).
Числа \(x\) и \(y\) являются корнями уравнения \(t^2-5t+6=0\). Поэтому \(\{x,y\}=\{2,3\}\).
Идея. Симметричная система часто сводится к квадратному уравнению.
Пример 4. Однородность и нормировка
Пример учит заменять отношение переменных одной новой переменной.
Задача. Пусть \(x,y>0\) и \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{5}{2}\). Найдите возможные значения \(\frac{x-y}{x+y}\).
Положим \(s=x+y\), \(p=xy\). Тогда \(\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{5}{2}\), то есть \(\frac{s^2-2p}{p}=\frac{5}{2}\). Значит, \(\frac{s^2}{p}=\frac{9}{2}\).
Теперь \(\left(\frac{x-y}{x+y}\right)^2=\frac{s^2-4p}{s^2}=1-\frac{4p}{s^2}=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}\). Поэтому \(\frac{x-y}{x+y}=\pm\frac{1}{3}\).
Идея. Однородное выражение зависит не от масштаба, а от отношения.
Пример 5. Скрытая замена \(x+\frac{1}{x}\)
Часто обратные величины надо объединять до вычислений.
Задача. Если \(x\neq 0\) и \(x+\frac{1}{x}=4\), найдите \(x^3+\frac{1}{x^3}\).
Используем тождество \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^3=x^3+\frac{1}{x^3}+3\left(x+\frac{1}{x}\right)\). Поэтому искомое значение равно \(4^3-3\cdot4=52\).
Идея. Не нужно находить \(x\); достаточно работать с целой заменой.
Пример 6. Уменьшение числа переменных
Этот пример показывает, как три переменные свести к двум симметрическим суммам.
Задача. Пусть \(a+b+c=0\) и \(a^2+b^2+c^2=12\). Найдите \(ab+bc+ca\).
Возведём \(a+b+c=0\) в квадрат: \(a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0\). Значит, \(12+2(ab+bc+ca)=0\), откуда \(ab+bc+ca=-6\).
Идея. Сумма квадратов и сумма попарных произведений связаны квадратом суммы.
Пример 7. Рациональность через сумму квадратов
Здесь отдельные слагаемые не видны напрямую, но их можно выделить дополнительным тождеством.
Задача. Пусть числа \(\sin u+\sin v\) и \(\cos u+\cos v\) рациональны. Докажите, что \(\cos(u-v)\) рационально.
Обозначим данные суммы через \(S\) и \(C\). Тогда \(S^2+C^2\) рационально. С другой стороны, \[S^2+C^2=2+2(\sin u\sin v+\cos u\cos v)=2+2\cos(u-v).\]
Следовательно, \(\cos(u-v)=\frac{S^2+C^2-2}{2}\) рационально.
Идея. Квадрат суммы иногда раскрывает нужную разность углов.
Пример 8. Сильная форма нулевой суммы
Олимпиадный шаг: рассматривать числа как корни одного многочлена.
Задача. Пусть \(a+b+c=0\), \(a^2+b^2+c^2=6\), \(a^3+b^3+c^3=6\). Найдите \(a,b,c\).
Из первого условия и суммы квадратов получаем \(ab+bc+ca=-3\). По тождеству для нулевой суммы \(a^3+b^3+c^3=3abc\), значит \(abc=2\).
Тогда \(a,b,c\) являются корнями многочлена \(t^3-3t-2\). Разложим: \(t^3-3t-2=(t-2)(t+1)^2\). Поэтому \(\{a,b,c\}=\{2,-1,-1\}\).
Идея. Если известны три симметрические суммы, переменные можно восстановить как корни кубического многочлена.
Глава
Вводные неравенства
Ключевая идея
Неравенство в олимпиадной алгебре редко доказывают «на глаз». Обычно его сводят к очевидной неотрицательности: квадрату, сумме квадратов, AM-GM, Коши-Буняковскому или аккуратной перестановке слагаемых.
Главная привычка этого модуля: не только доказать знак, но и сразу проверить случай равенства. Равенство часто подсказывает правильную замену и показывает, насколько точна оценка.
Основные факты
Для любых вещественных \(a,b\) верно \((a-b)^2\ge0\), откуда \(a^2+b^2\ge2ab\). Для положительных чисел \(x_1,\ldots,x_n\) верно AM-GM: \[\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\ge\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}.\]
В начальной форме неравенство Коши-Буняковского выглядит так: \[(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge(ac+bd)^2.\] В форме Энгеля часто используется \[\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{(x+y)^2}{a+b}\] при \(a,b>0\).
Когда применять метод
AM-GM естественно применять, когда есть положительные величины с фиксированной суммой или произведением. Коши удобно работает с суммами дробей вида \(\frac{x^2}{a}\). Сумма квадратов появляется, когда после раскрытия остаются выражения вроде \((a-b)^2\).
Если в задаче есть «наибольшее» или «наименьшее» значение, сначала найдите вероятный случай равенства, а затем подберите неравенство, у которого равенство достигается именно там.
Как распознать метод
Если выражение симметрично по \(a,b,c\), попробуйте привести его к сумме \((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\). Если есть положительные дроби, проверьте, не подходит ли Коши в форме Энгеля. Если есть произведение \(abc\), а сумма фиксирована, почти всегда рядом стоит AM-GM.
Для перестановочных задач отсортируйте две последовательности одинаково. Разность между «правильной» и «неправильной» расстановкой часто равна произведению двух неотрицательных разностей.
Типичные ошибки
Нельзя применять AM-GM к отрицательным числам. В дробных неравенствах нужно следить, что знаменатели положительны. При умножении неравенства на выражение с неизвестным знаком можно изменить знак неравенства и потерять решение.
Ещё одна частая ошибка — доказать более слабое неравенство и не заметить, что оно не даёт нужного результата. Всегда проверяйте численно, достаточно ли сильна выбранная оценка.
Мини-чеклист
1. Все величины положительны? 2. Как выглядит случай равенства? 3. Можно ли переписать разность как сумму квадратов? 4. Есть ли форма \(\sum \frac{x^2}{a}\)? 5. Не требуется ли отсортировать переменные?
Пример 1. Квадрат разности
Базовая идея: доказывать неравенство через очевидную неотрицательность.
Задача. Докажите, что \(a^2+b^2\ge2ab\) для любых вещественных \(a,b\).
Так как \((a-b)^2\ge0\), имеем \(a^2-2ab+b^2\ge0\). Отсюда \(a^2+b^2\ge2ab\). Равенство возможно только при \(a=b\).
Пример 2. AM-GM для двух чисел
Пример показывает, как находить минимум выражения с обратной величиной.
Задача. При \(x>0\) докажите \(x+\frac{1}{x}\ge2\).
По AM-GM: \(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\). Равенство достигается при \(x=1\).
Пример 3. Фиксированная сумма
Если сумма положительных чисел фиксирована, произведение часто ограничивается сверху.
Задача. Пусть \(a,b,c>0\) и \(a+b+c=6\). Докажите, что \(abc\le8\).
По AM-GM: \(\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\). Значит, \(2\ge\sqrt[3]{abc}\), откуда \(abc\le8\). Равенство при \(a=b=c=2\).
Пример 4. Коши в форме Энгеля
Форма Энгеля превращает сумму дробей в квадрат суммы.
Задача. При \(x,y>0\) докажите \(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge x+y\).
По Коши: \(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{(x+y)^2}{x+y}=x+y\). Равенство при \(x=y\).
Пример 5. Сумма обратных
Коши часто доказывает нижнюю оценку для обратных величин.
Задача. Пусть \(x,y,z>0\) и \(x+y+z=1\). Докажите, что \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge9\).
По Коши: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)(x+y+z)\ge(1+1+1)^2=9\). Так как \(x+y+z=1\), получаем требуемое. Равенство при \(x=y=z=\frac{1}{3}\).
Пример 6. Неравенство Несбитта
Это стандартный первый пример, где Коши сильнее прямого сложения.
Задача. При \(a,b,c>0\) докажите \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\).
Запишем \(\frac{a}{b+c}=\frac{a^2}{a(b+c)}\). По Коши сумма не меньше \(\frac{(a+b+c)^2}{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}\). Знаменатель равен \(2(ab+bc+ca)\), а \((a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)\). Получаем \(\frac{3}{2}\).
Пример 7. Перестановочная идея
Когда два набора упорядочены одинаково, сумма попарных произведений максимальна.
Задача. Если \(a\le b\) и \(x\le y\), докажите \(ay+bx\le ax+by\).
Разность правой и левой частей равна \(ax+by-ay-bx=(b-a)(y-x)\ge0\). Поэтому \(ay+bx\le ax+by\).
Пример 8. Равенство как ориентир
Сильное решение обычно сразу объясняет, когда равенство возможно.
Задача. Пусть \(x,y,z>0\) и \(xyz=1\). Докажите \((1+x)(1+y)(1+z)\ge8\).
По AM-GM: \(1+x\ge2\sqrt{x}\), \(1+y\ge2\sqrt{y}\), \(1+z\ge2\sqrt{z}\). Перемножая, получаем \((1+x)(1+y)(1+z)\ge8\sqrt{xyz}=8\). Равенство при \(x=y=z=1\).
Глава
Вводные функциональные уравнения
Ключевая идея
Функциональное уравнение — это уравнение, где неизвестна не переменная, а функция. В начале почти всегда надо подставить специальные значения: \(0\), \(1\), \(x\), \(-x\), \(x=y\), \(y=0\). Эти подстановки дают первые опорные значения и свойства функции.
Главная цель вводного модуля — научиться не угадывать функцию сразу, а добывать информацию шагами: найти \(f(0)\), \(f(1)\), проверить инъективность или сюръективность, затем перейти к линейной или аддитивной структуре.
Основные факты
Если \(f(x+y)=f(x)+f(y)\), то обычно сначала получают \(f(0)=0\). На \(\mathbb Z\) и \(\mathbb Q\) из аддитивности следует \(f(n)=nf(1)\) и \(f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{p}{q}f(1)\).
На \(\mathbb R\) одной аддитивности недостаточно для вывода \(f(x)=cx\). Нужны дополнительные условия: монотонность, ограниченность на интервале, неотрицательность на положительных числах или похожее регулярное свойство.
Когда применять метод
Подстановки нужны почти всегда. Инъективность полезна, когда из \(f(A)=f(B)\) можно получить \(A=B\). Сюръективность полезна, когда нужно заменить \(f(y)\) произвольным числом. Линейная проверка полезна в задачах, где ожидается \(f(x)=ax+b\), но её нужно подтвердить.
Как распознать метод
Если в уравнении есть \(x+y\), попробуйте \(y=0\) и \(x=0\). Если есть \(f(f(x))\), ищите инъективность или обратимость. Если есть \(x+f(y)\), попробуйте сначала зафиксировать \(y\), а затем заменить \(y\) так, чтобы \(f(y)\) стал удобным аргументом.
Типичные ошибки
Нельзя без доказательства считать функцию линейной. Нельзя делить на \(f(x)\), пока не доказано, что это значение ненулевое. Нельзя использовать «для любого \(t\) существует \(y\) с \(f(y)=t\)», если сюръективность ещё не доказана.
Мини-чеклист
1. Подставлены ли \(0\) и \(1\)? 2. Найдены ли \(f(0)\), \(f(1)\)? 3. Есть ли инъективность или сюръективность? 4. Можно ли перейти к \(g(x)=f(x)+c\) или \(g(x)=f(x)-x^2\)? 5. Проверены ли найденные функции в исходном уравнении?
Пример 1. Найти \(f(0)\)
Первое действие — подставить самый простой аргумент.
Задача. Пусть \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) для всех целых \(x,y\). Докажите, что \(f(0)=0\).
Подставим \(x=0\), \(y=0\): \(f(0)=f(0)+f(0)\). Значит, \(f(0)=0\).
Пример 2. Аддитивность на целых
На \(\mathbb Z\) аддитивность полностью задаётся значением в единице.
Задача. Если \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\), \(f(m+n)=f(m)+f(n)\), \(f(1)=3\), найдите \(f(n)\).
Для \(n>0\) получаем \(f(n)=nf(1)=3n\). Также \(0=f(0)=f(n+(-n))=f(n)+f(-n)\), значит \(f(-n)=-3n\). Ответ: \(f(n)=3n\) для всех \(n\in\mathbb Z\).
Пример 3. Подстановка \(x=0\)
Иногда одно значение сразу определяет всю рекурсию.
Задача. Пусть \(f(n+1)=f(n)+2n+1\) для \(n\ge0\), \(f(0)=0\). Найдите \(f(n)\).
Складываем равенства при \(n=0,1,\ldots,k-1\): \(f(k)=1+3+\cdots+(2k-1)=k^2\). Значит, \(f(n)=n^2\).
Пример 4. Проверка линейной функции
Линейную форму можно проверять, но нельзя просто объявлять без условий.
Задача. Найдите все линейные функции \(f(x)=ax+b\), для которых \(f(x+y)=f(x)+f(y)+4\).
Подставим \(ax+b\). Получаем \(a(x+y)+b=ax+b+ay+b+4\). Коэффициенты при \(x,y\) совпадают автоматически, а свободные члены дают \(b=2b+4\), то есть \(b=-4\). Ответ: \(f(x)=ax-4\), где \(a\) — любое вещественное число.
Пример 5. Инъективность
Инъективность позволяет снять \(f\) с обеих частей равенства.
Задача. Пусть \(f\) инъективна и \(f(x+1)=f(y+1)\). Докажите, что \(x=y\).
Из инъективности следует \(x+1=y+1\). Поэтому \(x=y\).
Пример 6. Сюръективность
Сюръективность разрешает заменить значение функции произвольным числом.
Задача. Пусть \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) сюръективна. Докажите, что найдётся \(t\), для которого \(f(t)=0\).
По сюръективности каждое вещественное число является значением функции. В частности, число \(0\) тоже является значением: существует \(t\), такое что \(f(t)=0\).
Пример 7. Аддитивность на \(\mathbb Q\)
На рациональных числах Cauchy-уравнение не требует регулярности.
Задача. Пусть \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), \(f(x+y)=f(x)+f(y)\), \(f(1)=5\). Найдите \(f\left(\frac{7}{3}\right)\).
Из \(3\cdot\frac{1}{3}=1\) получаем \(3f\left(\frac{1}{3}\right)=f(1)=5\), значит \(f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{5}{3}\). Тогда \(f\left(\frac{7}{3}\right)=7f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{35}{3}\).
Пример 8. Замена для квадратичной добавки
Иногда нужно вычесть известную часть и получить обычную аддитивность.
Задача. Пусть \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), \(f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy\), \(f(1)=1\). Найдите \(f(x)\).
Положим \(g(x)=f(x)-x^2\). Тогда \(g(x+y)=f(x+y)-(x+y)^2=f(x)-x^2+f(y)-y^2=g(x)+g(y)\). Кроме того, \(g(1)=0\). На \(\mathbb Q\) аддитивная функция с \(g(1)=0\) равна нулю. Значит, \(f(x)=x^2\).
Глава
Алгебраические задачи с целыми числами
Ключевая идея
Алгебраические задачи с целыми числами обычно решаются не «перебором», а сменой формы: разложением на множители, переходом к сумме и произведению корней, сравнением по модулю или оценкой возможных делителей.
Этот модуль связывает алгебру и теорию чисел: тождество даёт делимость, формула Виета даёт целые ограничения, а сравнение по модулю быстро запрещает невозможные уравнения.
Основные факты
Произведение нескольких последовательных целых чисел часто делится на факториал: например, \(n(n+1)\) делится на \(2\), а \(n(n+1)(n+2)\) делится на \(6\).
Если целое число \(r\) является корнем многочлена с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом \(1\), то \(r\) делит свободный член. Для квадратного уравнения с целыми корнями полезны формулы Виета: сумма корней равна \(-b\), произведение равно \(c\).
Квадраты по модулю \(4\) дают только остатки \(0\) и \(1\), а по модулю \(3\) — только \(0\) и \(1\). Это часто доказывает невозможность целых решений.
Когда применять метод
Если уравнение содержит \(x^2-y^2\), ищите разность квадратов. Если есть рациональная дробь с целыми переменными, попробуйте перенести всё в произведение вида \((x-a)(y-b)=N\). Если многочлен должен иметь целый корень, сначала проверьте делители свободного члена.
Как распознать метод
Слова «целые числа», «натуральные числа», «делится», «найдите все решения» почти всегда требуют ограничить варианты. Делимость ограничивает множители, модуль ограничивает остатки, а Виета превращает неизвестные корни в сумму и произведение.
Типичные ошибки
Нельзя проверять только положительные делители, если переменные могут быть отрицательными. Нельзя из \(ab\mid ac\) сокращать \(a\), если не учтено \(a=0\). В задачах по модулю нужно проверять все возможные остатки, а не только один пример.
Мини-чеклист
1. Можно ли разложить выражение на множители? 2. Какие остатки возможны по модулю \(3\), \(4\), \(5\)? 3. Если есть целый корень, какие делители надо проверить? 4. Можно ли применить Виета? 5. Не пропущены ли отрицательные решения?
Пример 1. Произведение соседних чисел
Задача. Докажите, что \(n^3-n\) делится на \(6\) при любом целом \(n\).
Разложим: \(n^3-n=n(n-1)(n+1)\). Это произведение трёх последовательных целых чисел. Среди них одно делится на \(3\), а хотя бы одно делится на \(2\), значит всё произведение делится на \(6\).
Пример 2. Целый корень многочлена
Задача. Найдите целые корни многочлена \(x^3-2x^2-5x+6\).
Целый корень делит \(6\), поэтому проверяем \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\). Получаем корни \(1,2,-3\). Следовательно, \(x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x-2)(x+3)\).
Пример 3. Виета в целых числах
Задача. Целые числа \(x,y\) удовлетворяют \(x+y=9\), \(xy=20\). Найдите \(x,y\).
Числа \(x,y\) — корни уравнения \(t^2-9t+20=0\). Разложение \(t^2-9t+20=(t-4)(t-5)\) даёт \(\{x,y\}=\{4,5\}\).
Пример 4. Дробь превращается в произведение
Задача. Найдите положительные целые \(x,y\), если \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}\).
Умножаем на \(5xy\): \(5x+5y=xy\). Тогда \(xy-5x-5y=0\), значит \((x-5)(y-5)=25\). Перебирая положительные делители \(25\), получаем \((x,y)=(6,30),(10,10),(30,6)\).
Пример 5. Проверка по модулю
Задача. Докажите, что уравнение \(x^2+1=3y\) не имеет целых решений.
По модулю \(3\) квадрат даёт остаток \(0\) или \(1\). Тогда \(x^2+1\) даёт остаток \(1\) или \(2\), но правая часть \(3y\) даёт остаток \(0\). Противоречие.
Пример 6. Разность квадратов
Задача. Найдите целые решения \(x^2-y^2=21\).
\((x-y)(x+y)=21\). Множители \(x-y\) и \(x+y\) одной чётности, а \(21\) нечётно, значит оба нечётные. Перебираем пары делителей \(1\cdot21\), \(3\cdot7\) и отрицательные пары. Получаем \((x,y)=(11,10),(11,-10),(5,2),(5,-2),(-11,-10),(-11,10),(-5,-2),(-5,2)\).
Пример 7. Квадратичная форма
Задача. Найдите целые \(x,y\), если \(x^2-xy+y^2=1\).
Если \(|x|\ge2\) и \(|y|\ge2\), левая часть велика; удобнее использовать \(4(x^2-xy+y^2)=(2x-y)^2+3y^2\). Тогда \((2x-y)^2+3y^2=4\), откуда \(y\in\{-1,0,1\}\). Проверка даёт решения \((1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1),(1,1),(-1,-1)\).
Пример 8. Первый спуск
Задача. Докажите, что уравнение \(x^2+y^2=5xy\) не имеет положительных целых решений.
Предположим, что решение есть, и выберем его с минимальным \(x+y\). Пусть \(x\ge y\). Рассмотрим уравнение как квадратное относительно \(x\): \(X^2-5yX+y^2=0\). Второй корень равен \(x'=5y-x\), он целый, а произведение корней равно \(y^2\), значит \(x'=\frac{y^2}{x}>0\). При \(x>y\) имеем \(x'
Глава
Смешанные задачи по алгебре I
Ключевая идея
В смешанном модуле метод заранее не назван. Ученик должен распознать форму задачи: где нужно разложение, где замена суммы и произведения, где модуль, где неравенство, а где функциональное уравнение или рекурсия.
Главная стратегия — сначала искать структуру, а не вычислять. Хорошая первая минута решения: проверить симметрию, целочисленность, возможность выделить квадрат, наличие \(x+y\), \(xy\), \(f(0)\), \(f(1)\), фиксированной суммы или произведения.
Основные факты
Симметричная система с двумя переменными часто сводится к \(s=x+y\), \(p=xy\). Разность квадратов даёт \((x-y)(x+y)\). Для целых корней монического многочлена сначала проверяют делители свободного члена. Для неравенств полезны \((a-b)^2\ge0\), AM-GM и Коши.
В функциональных уравнениях сначала подставляют специальные значения. В последовательностях стоит искать конечные разности, телескопирование или явную формулу по первым членам.
Когда применять метод
Если задача просит «найдите все», нужен механизм, ограничивающий варианты. Если задача просит «докажите», полезно искать тождество или неотрицательную форму. Если задача выглядит громоздко, попробуйте заменить переменные на более устойчивые выражения.
Как распознать метод
Целые числа подсказывают делимость и остатки. Квадратичные выражения подсказывают полный квадрат или Виета. Положительные переменные с фиксированной суммой подсказывают AM-GM или Коши. Уравнение с \(f(x+y)\) почти всегда начинается с \(x=0\) или \(y=0\).
Типичные ошибки
В смешанных задачах легко начать применять любимый метод без проверки. Не стоит раскрывать всё подряд, если можно сохранить множители. Не забывайте проверять найденные ответы в исходном условии, особенно в задачах с параметрами и целыми числами.
Мини-чеклист
1. Есть ли симметрия? 2. Есть ли целочисленность или модульный запрет? 3. Можно ли выделить квадрат? 4. Есть ли естественная замена? 5. Проверены ли все случаи равенства, знаки и отрицательные решения?
Пример 1. Метод не указан
Задача. Решите систему \(x+y+xy=19\), \(x^2+y^2=25\).
Пусть \(s=x+y\), \(p=xy\). Тогда \(s+p=19\), \(s^2-2p=25\). Из \(p=19-s\) получаем \(s^2+2s-63=0\), значит \(s=7\) или \(s=-9\). При \(s=7\), \(p=12\), корни \(3\) и \(4\). При \(s=-9\), \(p=28\), дискриминант отрицателен. Ответ: \((3,4),(4,3)\).
Пример 2. Скрытая делимость
Задача. Докажите, что \(n^3+3n^2+2n\) делится на \(6\).
Разложим: \(n^3+3n^2+2n=n(n+1)(n+2)\). Это произведение трёх последовательных целых чисел, значит оно делится на \(6\).
Пример 3. Параметр через Виета
Задача. При каких целых \(a\) многочлен \(x^2+ax+18\) имеет целые корни?
Пусть корни \(r,s\). Тогда \(rs=18\), \(r+s=-a\). Возможные суммы пар множителей \(18\): \(\pm19,\pm11,\pm9\). Значит, \(a\in\{-19,-11,-9,9,11,19\}\).
Пример 4. Неравенство без подсказки
Задача. Пусть \(x,y,z>0\). Докажите \(\frac{x^2}{2x+y}+\frac{y^2}{2y+z}+\frac{z^2}{2z+x}\ge\frac{x+y+z}{3}\).
По Коши левая часть не меньше \(\frac{(x+y+z)^2}{(2x+y)+(2y+z)+(2z+x)}=\frac{(x+y+z)^2}{3(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{3}\).
Пример 5. Функциональное уравнение
Задача. Пусть \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\), \(f(m+n)=f(m)+f(n)+2mn\), \(f(1)=2\). Найдите \(f(n)\).
Положим \(g(n)=f(n)-n^2\). Тогда \(g(m+n)=g(m)+g(n)\), а \(g(1)=1\). Следовательно, \(g(n)=n\), и \(f(n)=n^2+n\).
Пример 6. Модульный запрет
Задача. Докажите, что \(x^2+y^2+z^2=8k+7\) не имеет целых решений.
Квадрат по модулю \(8\) даёт \(0,1,4\). Сумма трёх таких остатков не может быть равна \(7\) по модулю \(8\). Но правая часть сравнима с \(7\). Противоречие.
Пример 7. Последовательность
Задача. \(u_0=1\), \(u_1=3\), \(u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n\). Докажите, что \(u_n=2^{n+1}-1\).
Проверка для \(n=0,1\) верна. Если формула верна для \(n,n+1\), то \(u_{n+2}=3(2^{n+2}-1)-2(2^{n+1}-1)=2^{n+3}-1\). Индукция завершена.
Пример 8. Простота выражения
Задача. Найдите все целые \(n\), при которых \(n^4+4\) — простое число.
Используем разложение Софи Жермен: \(n^4+4=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)\). При \(|n|>1\) оба множителя больше \(1\), значит число составное. При \(n=1\) и \(n=-1\) получаем \(5\), простое. При \(n=0\) получаем \(4\). Ответ: \(n=\pm1\).
Глава
Стратегические заметки
Ключевая идея
Стратегия в алгебре начинается не с вычислений, а с выбора взгляда. Одна и та же задача может выглядеть как система, многочлен, неравенство или задача на делимость; правильная форма резко сокращает решение.
Основные факты
Сумма и произведение подсказывают Виета. Нулевая сумма подсказывает \(a^3+b^3+c^3=3abc\). Фиксированная сумма в неравенстве подсказывает equality case. Целые числа подсказывают делители и остатки. Функциональные уравнения почти всегда начинаются с \(0\), \(1\), \(x=y\).
Когда применять метод
Замену делайте, когда повторяются одни и те же комбинации. Разложение ищите, когда есть разность степеней или свободный член. Симметрию используйте, когда переменные входят одинаково. На степень многочлена смотрите, когда даны значения в нескольких точках.
Как распознать метод
Спросите себя: что сохраняется, если поменять переменные местами? какие значения очевидны? где может быть равенство? какие остатки возможны? Если ответ зависит только от двух комбинаций, уменьшайте число переменных.
Типичные ошибки
Самая частая ошибка — начать раскрывать скобки до распознавания структуры. Вторая ошибка — найти ответ и не проверить его. Третья — использовать сильную теорему там, где достаточно одной подстановки или разложения.
Мини-чеклист
1. Есть ли естественная замена? 2. Есть ли множители? 3. Есть ли симметрия? 4. Важна ли степень многочлена? 5. Где equality case? 6. Есть ли быстрый модульный запрет?
Пример 1. Когда делать замену
Задача. Решите \(x+y=11\), \(x^2+y^2=65\).
Видны \(x+y\) и \(x^2+y^2\), значит ищем \(xy\): \(65=121-2xy\), откуда \(xy=28\). Тогда \(x,y\) — корни \(t^2-11t+28=0\), то есть \(4\) и \(7\).
Пример 2. Когда раскладывать
Задача. Найдите целые решения \(x^2-y^2=27\).
Разность квадратов даёт \((x-y)(x+y)=27\). Перебор нечётных пар делителей даёт решения \((14,\pm13),(6,\pm3)\) и соответствующие отрицательные по \(x\).
Пример 3. Когда использовать симметрию
Задача. Если \(a+b+c=0\), \(a^2+b^2+c^2=14\), \(a^3+b^3+c^3=18\), найдите \(a,b,c\).
Имеем \(ab+bc+ca=-7\), а \(3abc=18\), значит \(abc=6\). Числа — корни \(t^3-7t-6=0=(t-3)(t+1)(t+2)\). Ответ: перестановки \((3,-1,-2)\).
Пример 4. Когда смотреть на степень
Задача. \(P\) степени не выше \(2\), \(P(0)=2\), \(P(1)=6\), \(P(2)=12\). Найдите \(P(3)\).
Первые разности \(4,6\), вторая разность \(2\), следующая первая разность \(8\). Значит, \(P(3)=20\).
Пример 5. Когда искать equality case
Задача. При \(a+b+c=3\), \(a,b,c>0\), докажите \(ab+bc+ca\le3\).
Равенство ожидается при \(a=b=c=1\). Используем \((a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)\), получаем \(9\ge3(ab+bc+ca)\).
Пример 6. Когда смотреть по модулю
Задача. Докажите, что \(x^2+y^2=4k+3\) невозможно в целых числах.
Квадрат по модулю \(4\) даёт \(0\) или \(1\), сумма двух квадратов даёт \(0,1,2\), но не \(3\).
Пример 7. Когда подставлять \(0\)
Задача. \(f(x+y)=f(x)+f(y)+2\). Найдите \(f(0)\).
При \(x=y=0\): \(f(0)=2f(0)+2\), значит \(f(0)=-2\).
Пример 8. Когда искать разности
Задача. \(u_0=2\), \(u_{n+1}-u_n=4n+1\). Найдите \(u_n\).
\(u_n=2+\sum_{k=0}^{n-1}(4k+1)=2+2n(n-1)+n=2n^2-n+2\).
Глава
Пробные олимпиады I
Ключевая идея
Mock-олимпиада проверяет не отдельную тему, а выбор метода. В каждом варианте есть уравнение или разложение, многочлен или последовательность, неравенство и функциональная либо смешанная задача.
Основные факты
Перед решением быстро классифицируйте задачу: множители, замена, Виета, конечные разности, AM-GM/Коши, подстановка в функциональном уравнении, модульная проверка.
Когда применять метод
Если за 2–3 минуты метод не виден, выпишите структуру: какие выражения повторяются, какие переменные симметричны, есть ли целые числа, где возможен equality case.
Как распознать метод
Система с \(x+y\), \(xy\) просит Виета. Несколько значений многочлена просят разности. Положительные переменные просят неравенства. \(f(x+y)\) просит \(0\) и \(1\).
Типичные ошибки
Не застревайте на одной задаче слишком долго. В mock-варианте важно набрать решаемые идеи: сначала закройте очевидные ходы, затем возвращайтесь к сложным.
Мини-чеклист
1. Метод выбран? 2. Ответ проверен? 3. Все целые случаи перебраны? 4. Equality case найден? 5. Решение записано без пропусков?
Пример 1. Разложение
Задача. Решите \(x^2-9x+20=0\).
\((x-4)(x-5)=0\), значит \(x=4\) или \(x=5\).
Пример 2. Разности
Задача. \(P(0)=1\), \(P(1)=4\), \(P(2)=9\), степень \(P\le2\). Найдите \(P(3)\).
Разности \(3,5\), следующая \(7\). Поэтому \(P(3)=16\).
Пример 3. AM-GM
Задача. При \(x>0\) докажите \(x+\frac{16}{x}\ge8\).
По AM-GM: \(x+\frac{16}{x}\ge2\sqrt{16}=8\).
Пример 4. Cauchy на \(\mathbb Q\)
Задача. \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), \(f(x+y)=f(x)+f(y)\), \(f(2)=10\). Найдите \(f\left(\frac{3}{5}\right)\).
\(f(1)=5\), значит \(f(q)=5q\). Ответ: \(3\).
Пример 5. Модуль
Задача. Докажите, что \(x^2+y^2=4k+3\) невозможно.
Квадраты по модулю \(4\) дают только \(0,1\), сумма двух квадратов не даёт \(3\).
Пример 6. Последовательность
Задача. \(u_0=0\), \(u_{n+1}-u_n=2n+1\). Найдите \(u_n\).
\(u_n=1+3+\cdots+(2n-1)=n^2\).
Пример 7. Виета
Задача. \(x+y=12\), \(xy=35\). Найдите \(x,y\).
Корни \(t^2-12t+35=0\): \(5\) и \(7\).
Пример 8. Спуск
Задача. Почему \(x^2+y^2=5xy\) не имеет положительных целых решений?
При минимальном решении второй корень \(5y-x=\frac{y^2}{x}\) даёт меньшее положительное решение. Противоречие.