NT-B2-M08-P006 Нет решения при коэффициенте \(4\)

Выберите решение с минимальной суммой и рассмотрите уравнение как квадратное относительно большей переменной.

Пусть \(x\le y\) и решение минимально. Как квадратное относительно \(y\), уравнение имеет вид \(Y^2-4xY+x^2+1=0\). Второй корень \(y'=4x-y=\frac{x^2+1}{y}\) положителен и целый. Так как \(y\ge x\), \(y'\le x+\frac{1}{x}\), значит \(y'\le x\). Равенство \(y'=x\) привело бы к \(y=3x\), а тогда \(x^2+9x^2+1=12x^2\), то есть \(2x^2=1\), невозможно. Получаем меньшее решение. При \(x=1\) дискриминант \(16-8=8\) не квадрат. Противоречие.

Первый полноценный прыжок Виета в задачах.