NT-B2-M07-P018 Египетские дроби уровня выше

Из порядка получите \(x\le 6\). Значения \(x=1,2\) невозможны. Затем для каждого \(x=3,4,5,6\) решайте уравнение с двумя дробями.

Из \(x\le y\le z\) следует \(\frac{3}{x}\ge \frac{1}{2}\), значит \(x\le 6\). При \(x=1\) сумма уже больше \(\frac{1}{2}\), при \(x=2\) оставшиеся дроби должны суммироваться в \(0\), невозможно.

Если \(x=3\), то \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{6}\), то есть \((y-6)(z-6)=36\). С учётом \(y\le z\): \((y,z)=(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12)\).

Если \(x=4\), то \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{4}\), поэтому \((y-4)(z-4)=16\). Получаем \((5,20),(6,12),(8,8)\).

Если \(x=5\), то \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{10}\). Умножая и дописывая произведение, получаем \((3y-10)(3z-10)=100\). При \(y\ge 5\) и \(y\le z\) подходит только \(3y-10=5\), то есть \((y,z)=(5,10)\).

Если \(x=6\), то \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}\). Так как \(y,z\ge 6\), максимум равен \(\frac{1}{3}\), значит \(y=z=6\). Ответ: \((3,7,42),(3,8,24),(3,9,18),(3,10,15),(3,12,12),(4,5,20),(4,6,12),(4,8,8),(5,5,10),(6,6,6)\).

Это полноценная олимпиадная задача на аккуратное ветвление; полезно проверять, чтобы ученик не пропускал случай \(x=5\).