Задача
NT-B2-M07-P012 Выразить одну переменную
#12
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все положительные целые пары \((x,y)\), для которых \(x^2=xy+x+y+11\).
Соберите все члены с \(y\) справа и посмотрите, когда \(x+1\) делит числитель.
Из уравнения получаем \(y(x+1)=x^2-x-11\). Но \(x^2-x-11=(x+1)(x-2)-9\). Значит \(x+1\mid 9\). Так как \(x>0\), имеем \(x+1=3\) или \(9\). При \(x=2\) получаем \(y=-3\), не подходит. При \(x=8\) получаем \(9y=45\), то есть \(y=5\). Ответ: \((8,5)\).
Задача показывает альтернативу факторизации: изолировать переменную и получить делимость.