Задача
NT-B2-M06-P017 Когда \(3^n\) делит
#17
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все натуральные \(n\), для которых \(3^n\mid10^n-1\).
Сравните \(n\) с \(v_3(10^n-1)\).
По LTE \(v_3(10^n-1)=v_3(9)+v_3(n)=2+v_3(n)\). Нужно \(2+v_3(n)\ge n\). Проверяем: \(n=1,2,3\) подходят. Если \(n\ge4\), то \(v_3(n)\le n-3\) с большим запасом; точнее \(2+v_3(n)
Сильная задача: после LTE остаётся неравенство.