Задача
NT-B2-M04-P017 Доказательство Вильсона
#17
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите теорему Вильсона: если \(p\) простое, то \((p-1)!\equiv-1\pmod p\).
Сгруппируйте ненулевые остатки с их обратными.
В множестве \(1,2,\ldots,p-1\) каждый остаток имеет обратный. Остатки, равные своим обратным, удовлетворяют \(x^2\equiv1\pmod p\), значит \(x\equiv1\) или \(x\equiv-1\pmod p\). Все остальные остатки разбиваются на пары \(x,x^{-1}\), произведение каждой пары равно \(1\). Поэтому \((p-1)!\equiv1\cdot(-1)\equiv-1\pmod p\).
Это полноценное доказательство, не просто применение.