Задача
NT-B1-M12-P024 Вариант 6. Последовательные числа с квадратным делителем
#24
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите, что для любого \(k\ge1\) существуют \(k\) последовательных натуральных чисел, каждое из которых делится на квадрат некоторого простого числа.
Выберите разные простые \(p_1,\ldots,p_k\) и задайте \(n+i\equiv0\pmod{p_i^2}\).
Выберем попарно различные простые \(p_1,\ldots,p_k\). Рассмотрим систему \(n\equiv-1\pmod{p_1^2}\), \(n\equiv-2\pmod{p_2^2}\), \(\ldots\), \(n\equiv-k\pmod{p_k^2}\). Модули \(p_i^2\) попарно взаимно просты, поэтому по CRT существует решение \(n_0\). Тогда каждое число \(n_0+i\) делится на \(p_i^2\). Прибавив к \(n_0\) достаточно большое кратное \(p_1^2\cdots p_k^2\), получаем положительные последовательные числа.
Сильная финальная конструкция первого уровня.