Задача
NT-B1-M08-P022 Заданные делители сдвигов
#22
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(d_1,\ldots,d_k\) попарно взаимно просты. Докажите, что существует бесконечно много \(n\), для которых \(d_i\mid n+i\) при всех \(i=1,\ldots,k\).
Запишите условия как \(n\equiv-i\pmod{d_i}\).
Условия \(d_i\mid n+i\) равносильны \(n\equiv-i\pmod{d_i}\). Так как модули \(d_i\) попарно взаимно просты, по CRT существует решение \(n_0\) по модулю \(D=d_1\cdots d_k\). Тогда все \(n=n_0+tD\) тоже подходят. При \(t=0,1,2,\ldots\) получаем бесконечно много решений.
Это общий шаблон для конструкций с делимостью сдвигов.