Задача
NT-B1-M06-P006 Иррациональность \(\sqrt{3}\)
#6
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Докажите, что \(\sqrt{3}\) иррационально.
Повторите доказательство для \(\sqrt{2}\), заменив четность на делимость на \(3\).
Пусть \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), \(\gcd(a,b)=1\). Тогда \(a^2=3b^2\), значит, \(3\mid a\), \(a=3c\). Получаем \(9c^2=3b^2\), то есть \(b^2=3c^2\), и \(3\mid b\). Противоречие с \(\gcd(a,b)=1\).
Хорошая самостоятельная проверка простого делителя квадрата.