Задача
NT-B1-M02-P010 Сумма и разность
#10
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Пусть \(\gcd(a,b)=1\). Докажите, что \(\gcd(a+b,a-b)\) делит \(2\).
Общий делитель суммы и разности делит их сумму и разность.
Пусть \(d\mid a+b\) и \(d\mid a-b\). Тогда \(d\mid (a+b)+(a-b)=2a\) и \(d\mid(a+b)-(a-b)=2b\). Так как \(\gcd(a,b)=1\), общий делитель не может содержать нечетный простой множитель. Поэтому \(d\mid2\).
Очень частый шаблон для сумм и разностей.