Задача
NT-B1-M01-P022 Пятнадцать делителей и делимость на 12
#22
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на \(12\) и имеет ровно \(15\) положительных делителей.
Разложите \(15\) как \(15\) или \(3\cdot5\), а условие \(12\mid n\) означает показатели \(v_2(n)\ge2\), \(v_3(n)\ge1\).
Если \(\tau(n)=15\), то возможны структуры \(p^{14}\) или \(p^4q^2\). Первый вариант невыгоден и, чтобы делиться на \(12\), потребовал бы огромного числа. Во втором варианте нужно поставить больший показатель на меньший простой. Так как число должно делиться на \(12=2^2\cdot3\), берем \(2^4\cdot3^2=144\). У него \((4+1)(2+1)=15\) делителей, и оно делится на \(12\). Вариант \(2^2\cdot3^4=324\) больше, а добавление других простых увеличит число. Ответ: \(144\).
Здесь уже есть оптимизация по простым показателям.