Задача
GEO-B3-M06-P015 Тангенсы половин углов
#15
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите, что для углов треугольника \(ABC\) выполняется \(\tan\frac A2\tan\frac B2+\tan\frac B2\tan\frac C2+\tan\frac C2\tan\frac A2=1\).
Inspired by Prasolov trigonometric geometry method
C. Подсказка 1. Используйте \(A/2+B/2+C/2=90^\circ\).
D. Подсказка 2. Примените формулу тангенса суммы трёх углов.
Пусть \(x=\tan\frac A2\), \(y=\tan\frac B2\), \(z=\tan\frac C2\). Так как \(\frac A2+\frac B2+\frac C2=90^\circ\), тангенс суммы бесконечен.
По формуле \(\tan(u+v+w)=\frac{x+y+z-xyz}{1-xy-yz-zx}\). Чтобы знаменатель был равен нулю, нужно \(1-xy-yz-zx=0\). Следовательно, \(xy+yz+zx=1\).
Формула важна для задач с \(r,p,R\).