Задача
GEO-B3-M06-P013 Фермат через trig Ceva
В треугольнике \(ABC\) все углы меньше \(120^\circ\). Докажите, что существует точка \(T\), для которой \(\angle ATB=\angle BTC=\angle CTA=120^\circ\), сведя задачу к trig Ceva для подходящих чевиан.
C. Подсказка 1. Постройте из каждой вершины луч, который должен вести к точке \(T\).
D. Подсказка 2. Углы при вершинах выражаются как \(60^\circ\) плюс углы треугольника.
Определим лучи из \(A,B,C\) так, чтобы если они пересекутся в \(T\), углы вокруг \(T\) стали по \(120^\circ\). В стандартной конструкции это те же лучи, которые идут к вершинам внешних правильных треугольников.
Для этих трёх лучей углы в trig Ceva имеют вид \(B+60^\circ\), \(C+60^\circ\) и циклически. После подстановки произведение синусов телескопически сокращается: \[ \frac{\sin(B+60^\circ)}{\sin(C+60^\circ)} \frac{\sin(C+60^\circ)}{\sin(A+60^\circ)} \frac{\sin(A+60^\circ)}{\sin(B+60^\circ)}=1. \] Значит, лучи конкурентны. Их точка пересечения и есть точка \(T\), а построение даёт углы \(120^\circ\).
Можно дать как тригонометрическую версию построения Ферма.